SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE

Solide en mouvement de rotation

Un solide est en mouvement de rotation lorsqu’il peut tourner autour d’une droite fixe, appelée axe de rotation, passant par un de ses points. Tous les points de l’axe de rotation sont fixes.

Exemples :

-une roue

-le rotor d’un moteur

-le plateau d’un tourne-disque

Equations du mouvement

· Lorsque la vitesse angulaire est constante, le mouvement de rotation est uniforme d’équation horaire :

θ =t +θ₀

θ₀ : élongation initiale en radian (rad)

vitesse angulaire en radian par seconde (rad/s)

θ: élongation à l’instant t quelconque (rad)

· Lorsque l’accélération angulaire est constante, le mouvement de rotation est uniformément varié d’équations horaires :

Relation indépendante du temps entre

θ₀ : élongation initiale en radian (rad)

:Vitesse angulaire en radian par seconde (rad/s)

Ӫ : accélération angulaire en radian par seconde carré(rad/s²)

θ: élongation à l’instant t quelconque (rad)

Relation fondamentale de la dynamique du solide en rotation:

La somme des moments, par rapport à l’axe de rotation, des forces extérieures appliquées à un solide en rotation est égale au produit du moment d’inertie du solide par rapport à cet axe par l’accélération angulaire du solide.

moment d’inertie en kg.m².

: accélération angulaire en rad.s^-2

Calcul des moments d’inertie

-Circonférence pesante de masse m et rayon R :

-Disque et cylindre homogène de masse m et de rayon R :

-Tige mince de longueur l :

-Plaque rectangulaire de longueur a et de largeur b :

-sphère pleine et sphère creuse à parois minces de rayon R:

Théorème de Huygens :

Le moment d’inertie d’un solide, par rapport à un axe quelconque Δ est la somme du moment d’inertie: de ce solide par rapport à un axe Δ_G parallèle à l’axe Δ et qui passe par le centre d’inertie G du solide et du produit de la masse m du solide par le carré de la distance d entre les axes Δ et Δ_G.

Exemple : soit une poulie de rayon r et de masse m=2 kg en rotation autour d’un axe (Δ) passant par son centre O. On l’utilise pour soulever une charge de masse M à l’aide d’un moteur non représenté. Calculer l’accélération angulaire.

On donne : T=6 N, r =10 cm,

Système : poulie

Bilan des forces 

Tension du fil :

Poids de la poulie :

Réaction de l’axe :

EXERCICES

EXERCICE I :
Le tambour d’une machine à laver le linge est un cylindre de 46 𝑐𝑚 de diamètre. Au moment de
l’essorage, il tourne autour de son axe à 800 𝑡𝑟⁄𝑚𝑖𝑛.
1- Calculer sa vitesse angulaire 𝜔 de rotation en 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠 .
2- Calculer la vitesse v du point H de la périphérie du tambour.

EXERCICE II:
1- Déterminer la vitesse angulaire de la grande aiguille d’une montre.
2- Déterminer la vitesse angulaire de la petite aiguille d’une montre.
3- On choisit l’origine des dates à midi. A quel instant les deux aiguilles se superposent-elles à nouveau.

EXERCICE III :

Deux solides S₁ et S₂ de masses respectives m₁ et m₂ sont reliés par un fil inextensible et de masse négligeable passant sur la gorge d’une poulie de rayon r et de masse M, tournant sans frottement autour d’un axe horizontal ∆ passant par son milieu. Le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe est J_∆.

On abandonne le système sans vitesse initiale.

1. Déterminer l’accélération prise par le système.

2 Calculer les tensions T₁ et T₂ des cordes.

On donne:  J_∆ = 0,5 Kg.m₂ ; R = 0,3 m ; m₁=4Kg ; m₂=3 Kg                                                                    

3 Quels résultats obtiendrait-on en négligeant l’inertie de la poulie ?

4. Ecrire les équations horaires des mouvements de S₁ et de S₂.

EXERCICE IV :

Une platine de tourne-disque de moment d’inertie J_Δ=22x10^-3 kg.m² est lancée a la vitesse de rotation de 33 tr/mn.

1.Calculer sa vitesse angulaire.

2.On coupe l’alimentation du moteur, La platine effectue 10 tours avant de s’arrêter.

Calculer la force de frottement supposée constante qui s’exerce au niveau de l’axe de rotation.

EXERCICE V :

Un appareil de levage utilisé sur un chantier se présente de la façon suivante :

-Un cylindre creux B (toute sa masse est repartie à sa périphérie) homogène de rayon R = 0,20 m et de masse m=50 kg peut tourner sans frottements autour de son axe de révolution disposé horizontalement. Il est mû par un moteur électrique qui exerce sur le cylindre un couple de moment constant M.

- Un câble inextensible de masse négligeable est enroulé sur le cylindre, une extrémité étant fixé au cylindre. A l’autre extrémité on suspend un corps A de masse m’=1000kg. On prendra g=10m.s^-2

1- Le corps s’élève en partant du repos ; le câble ne glisse pas sur le cylindre.

1.1-Montrer par deux manières différentes (en utilisant le théorème de l’énergie cinétique à l’appareil de levage complet, puis sans utiliser ce théorème, mais en considérant la tension T du câble) que le mouvement de A est uniformément varié.                                            

1.2- A s’élève d’une hauteur h= 50m en un temps t=25 s ; calculer son accélération.

1.3- Calculer la tension du câble ; quel serait l’allongement d’un dynamomètre de raideur k=10⁵ N.m^-1 intercalé entre A et le câble ?                                   

1.4- Calculer le moment M du couple moteur.                                 

1.5-Calculer le travail fourni par le moteur électrique lorsque A s’est élevé d’une hauteur de 50 m.        

2 – Au bout de 50m de montée la charge est délestée automatiquement sans à coup et le moteur électrique débrayé. Le cylindre est alors arrêté en 10 tours sous l’effet d’un couple de freinage de moment constant. Quelle est la valeur de ce couple ?

CORRIGES :
EXERCICE I :
1- Vitesse angulaire 𝜔 de rotation du tambour :
𝜔 =∆𝜃 :∆𝑡
𝜔 =800 × 2𝜋 :60 ≈ 84 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠
2- Vitesse v d’un point de la périphérie du tambour :
𝑣 = 𝑅. 𝜔=D/2ω
𝑣 =46.10-22 × 84
𝑣 ≈ 19 𝑚⁄𝑠
EXERCICE II :
1- Vitesse angulaire de la grande aiguille d’une montre :
La période de rotation de la grande aiguille est : ∆𝑡 = 𝑇 = 60 𝑚𝑖𝑛 ⟹ 𝑇 = 3600𝑠
𝜔_𝐺 =2𝜋 :𝑇
𝜔_𝐺 =2𝜋 :3600
𝜔_𝐺 ≈ 1,75.10^-3 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠
2- Vitesse angulaire de la petite aiguille d’une montre :
La période de rotation de la petite aiguille est : ∆𝑡′ = 𝑇′ = 12 ℎ ⟹
𝑇′ = 12 × 3600𝑠 = 43200 𝑠
𝜔_𝑃 =2𝜋𝑇
𝜔_𝑃 =2𝜋 :43200
𝜔_𝑃 ≈ 1,45.10^-4 𝑟𝑎𝑑⁄𝑠
3- A l’instant t, l’angle balayé par la grande aiguille est : 𝜃_𝐺 = 𝜔_𝐺. 𝑡
De même, à l’instant t, l’angle balayé par la petite aiguille est : 𝜃_𝑃 = 𝜔_𝑃. 𝑡
Les aiguilles sont superposées si :
𝜃_𝐺 = 𝜃_𝑃 + 2𝑘𝜋
𝜔_𝐺. 𝑡 = 𝜔_𝑃. 𝑡 + 2𝑘𝜋
𝑡 =2𝑘𝜋(𝜔_𝐺 – 𝜔_𝑃)
Les aiguilles se superposent un première fois pour 𝑘 = 1
𝑡 =2𝜋=1,75.10-3 - 1,45.10-4
𝑡 = 3927𝑠
𝑡 = 1ℎ𝑒𝑢𝑟𝑒 5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑡 27 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑠

EXERCICE III :

Système S₂

T₂=m₂a

Système S₁

T₁=P-m₁a=m₁g-m₁a

Poulie

T₁r- T₂r- = J_∆   <=>   T₁- T₂= J_∆

<=> m₂g=m₂a+ m₁a +J_∆  = am₂(1+ + J_∆  )

=>  

 2 Tensions T₁ et T₂ des cordes.

T₁=m₁a=4x2,08=8,33N

T₂=P-m₂a=3x10-3x2,08=23,82N

3 En négligeant l’inertie de la poulie :

J_∆.=0 =>

.

4. Equations horaires des mouvements de S₁ et de S₂.

x₁=1/2at²=2,04t²   (m)  et v₁=at=4,28t

x₂=1/2at²=2,04t²  (m)  et v₂=at=4,28t

Equations horaires du mouvement de la poulie : 

EXERCICE IV :

1.Vitesse angulaire.

2. La platine effectue 10 tours avant de s’arrêter, donc elle balaie un angle 

D’après le théorème de l’Energie cinétique

EXERCICE V :

1.1-

1ere méthode :

Système 1 : Masse M

T-P=Ma => T=m’g + m’a

Système 2 : Poulie

M – T’R= J_∆   T’R=M - J_∆

T=T’  => m’g + m’a=   <=> a(m’+m)=

2eme méthode : Théorème de l’énergie cinétique.

Système 1 : Masse M

=> Th=

Système 2 : Poulie

a est une constante  donc le mouvement de la masse m’ est rectiligne et uniformément varie.

1.2- calcul de son accélération.

1.3- Calcul de la tension du câble.

    T=m’g + m’a=1000x10 +1000x0,16=10000+16=10016N.       

Allongement du dynamomètre.

1.4- Calculer le moment M du couple moteur.   

m’a +m’g =M/R -ma  

1.5-Calcul du travail

2 –

Au moment de la rupture

a=0,16m/s² soit 

La relation indépendante du temps donne :

0 -3,18.

C’est la décélération.

En utilisant le théorème de l’Energie cinétique.

-=M     => M===