FONCTIONS EXPONENTIELLES NEPERIENNES
Définition
La fonction exponentielle notée :
exp(x ) est la bijection
réciproque de la fonction
logarithme népérien. Par conséquence, la fonction est définie sur IR par :
Notations
:
.
Proposition
:
Conséquence
immédiate
.Remarque : Dans un repère
orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp(x)
et ln(x) sont symétrique par rapport à la première bissectrice. (Tracer la
courbe des deux fonctions dans le même repère)
Propriété fondamentale
- Pour tous nombres réels a et b, on a :
ea+b = eaxeb
Propriétés
Etude de la fonction exponentielle
Définition :
Conséquence immédiate
La fonction exponentielle est dérivable en « 0 » et on a :
Donc on a :
Les
limites
Tableau
de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR et on a :
Fonction
Dérivée de
Si u(x) est une fonction dérivable sur un intervalle K, alors est dérivable
sur K et
on a :
Exemple
: calculer la dérivée de la fonction
Posons , est derivable sur
et on a :
Primitive
de u’(x)eu(x)
Si u(x) est une fonction dérivable sur K, alors une primitive de u’(x)eu(x) sur K est la fonction eu(x)+k , avec k ϵ IR
FONCTION
PUISSANCE
Définition
Soit un réel. on
appelle fonction puissance, la
fonction notée définie par :
Propriétés (x>0)
Etude de la fonction puissance (x→xα )
Domaine
de définition
Limites aux bornes du Df
Dérivée et sens de variation
Tableau de variation
EXERCICES
EXERCICE I : Calculez les
limites des fonctions suivantes
a.
b. 
c. 
d. 
EXERCICE II : Calculez les dérivées des
fonctions suivantes
a. 
b. 
c. 
d. 
EXERCICE III : Calculez les primitives des
fonctions suivantes
a. . 
b. . 
c. . 
EXERCICE IV :Résoudre :
a.
b. 
c. 
d. 
EXERCICE V : Résoudre :
a. ln(x+3)=-2
b. ln(x+3)<-2
c.
d. 
>0
EXERCICE
VI :
a) Résoudre dans R, l’équation (E)
: X2 - 4X +3 =0.
b) En
déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E’) :
e2x – 4ex +
3=0.
CORRIGES
EXERCICE I :
Calculez les limites des fonctions suivantes
a.
b. 
c. 
//car 
d. 
=
EXERCICE II : Calculez les dérivées
des fonctions suivantes
a. 
b. 
c. 
d. 
EXERCICE III : Calculez les
primitives des fonctions suivantes
a. 
=-1/3x-3 e-3x+7=-1/3(-3x+7)’ e-3x+7=-1/3u’(x)eu(x)
F(x) =-1/3e-3x+7 +k, kεIR
b. 
=(sinx)’ 
= u’(x)eu(x)
F(x)= 
c. 
=1/2x (2x+2) 
=1/2 u’(x)eu(x)
F(x)=1/2
EXERCICE IV : Résoudre :
a.
<= > ln.
<= > x-3=ln4 =>x=3+ ln4
=>S={3+ ln4 }
b. 
<= >ln
<= > x-3<ln4=>x<3+
ln4 =>S=]-∞,3+ ln4[
c. 
impossible //la fonction exponentielle est positive
d. 
impossible //la fonction exponentielle est
positive
EXERCICE V : Résoudre :
a. ln(x+3)=-2 <=> eln(x+3)
=e-2<=>x+3=e-2 =>x= e-2 -3 => S={ e-2-3 }
b. ln(x+3)<-2 S=]-∞, e-2 -3[
c.
<=>3exex+5ex-2=0<=>3e2x+5ex-2=0
On pose X=ex =>3X2+5X-2=0
Δ=b2-4ac=25-4(3)(-2)=49
X1=(-5-7)/6=-1
X2=(-5+7)/6=1/3
X=ex=-6 impossible
X=ex=1/3 =>x=ln1/3 =>S={-ln3}
d. 
>0 <=>3e2x+5ex-2>0
S=]∞,-ln3[∪]-ln3,+∞[
EXERCICE VI :
a) Résoudre dans R, l’équation (E)
X2 - 4X +3 =0.
Δ=b2-4ac=16-4(1)(3)=4
X1=(4-2)/2=1
X2=(4+2)/2=3
b) En déduire l’ensemble des
solutions de l’équation (E’) :
e2x – 4ex
+ 3=0.
En posant X=ex on retrouve X2 - 4X +3 =0
X=ex
=1=>x=ln1=0
X=ex
=3=>x=ln3