FONCTIONS EXPONENTIELLES NEPERIENNES

Définition
La fonction exponentielle notée :

exp(x ) est la bijection réciproque de la fonction
logarithme népérien. Par conséquence, la fonction est définie sur IR par :

Notations :

.
Proposition :

Conséquence immédiate

.Remarque : Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp(x) et ln(x) sont symétrique par rapport à la première bissectrice. (Tracer la courbe des deux fonctions dans le même repère)

Propriété fondamentale
- Pour tous nombres réels a et b, on a :

e^a+b= e^axe^b
Propriétés

Etude de la fonction exponentielle

Définition :

Conséquence immédiate

La fonction exponentielle est dérivable en « 0 » et on a :
Donc on a :

Les limites

Tableau de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur IR et on a :

Fonction
Dérivée de
Si u(x) est une fonction dérivable sur un intervalle K, alors est dérivable sur K et
on a :

Exemple : calculer la dérivée de la fonction
Posons , est derivable sur et on a :

Primitive de u’(x)e^u(x)
Si u(x) est une fonction dérivable sur K, alors une primitive de u’(x)e^u(x)sur K est la fonction e^u(x)+k , avec k ϵ IR

FONCTION PUISSANCE

Définition
Soit un réel. on appelle fonction puissance, la fonction notée définie par :

Propriétés (x>0)

Etude de la fonction puissance (x→x^α )
Domaine de définition

Limites aux bornes du Df

Dérivée et sens de variation

Tableau de variation

CROISSANCE COMPAREE

Sur R^*+, la fonction exponentielle croit plus vite que la fonction puissance qui à son tour croit plus vite que la fonction logarithme. Par conséquent,

lors du calcul des limites, en cas d’indéterminations produit ou quotient impliquant les fonctions ci dessus, c’est la limite de la fonction qui croit le plus qui prime.

Propriétés :