REPRESENTATION DES DONNEES DANS L’ORDINATEUR

REPRESENTATION DES NOMBRES

Pour représenter les nombres, on utilise les symboles d’un système de numération. Chaque système de numération possède une base. Celle-ci correspond au nombre de chiffres ou de symboles qui constituent ce système. Il existe plusieurs systèmes de numération dont les plus utilisés sont : le système de base 2 ou binaire, le système de base 8 ou octal, le système de base 10 ou décimal, le système de base 16 ou hexadécimal.

Les différents formats de représentation des nombres

Le système décimal.

Le système décimal est le système de numération utilisé dans la vie courante. Les nombres que nous utilisons pour compter ou pour calculer sont écrits en base 10. Il utilise dix symboles différents, que l’on appelle des chiffres. Il existe 10 chiffres dans le système décimal qui sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

On peut combiner deux ou plusieurs chiffres pour créer des nombres.

Exemple : soit le nombre 5823 :

5823=5.10³ + 8.10² + 2.10¹ + 3.10⁰

Lorsque nous écrivons 5823 en base 10, la position des chiffres 5, 8, 2, 3 à partir de 0 indique la puissance de 10 à laquelle ils sont associés :

5 est associé à 10³

8 est associé à 10²

2 est associé à 10¹

3 est associé à 10⁰

Tout le calcul est basé sur la place des chiffres. C'est elle qui déterminera la valeur du nombre, c’est pourquoi cette notation est dite « positionnelle ».

D’une manière générale, si un nombre est constitué de n chiffres, la plus grande puissance de 10 qui multiplie le chiffre le plus à gauche de ce nombre est 10^n-1.

Le système binaire

C’est le système de base 2. Puisqu'on est en base 2, il n'y aura que deux chiffres : 0 et 1. Chaque chiffre binaire est appelé bit (Binary Digit). C’est le système de base utilisé dans les circuits numériques des ordinateurs.

Exemple : Prenons le nombre 1011

Rappel : Dans tous les calculs que l'on fait avec les bases, on commence toujours par le chiffre le plus à droite. On continue ensuite de la droite vers la gauche.

1011= 1.2³ +0.2² + 1.2¹ +1.2⁰

= 8 +0 + 2 + 1

Quelques définitions :

Bit : Unité du binaire. Chaque 1 ou 0 est appelé un bit. Par exemple, 1101 contient 4 bits.

Octet: C’est un nombre binaire de huit bits,

Un kilooctet (ko) comprend 1024 octets.

Exemple : 10011111 contient 8 bits soit 1 octet.

Byte : blocs de mémoires qui contiennent chacun un nombre fini et constants. Le plus souvent les bytes sont composées de plusieurs octets.

Poids du bit = nombre de fois que l'on multiplie par la base

Le bit qui est tout à droite, est le bit de poids le plus faible. On dit qu'il est de poids 0. Ensuite vient le bit de poids 1, le second en partant de la droite. Ainsi de suite, jusqu'au bit de poids le plus fort, complètement à gauche.

Mot : Un mot est un ensemble de plusieurs bits.

Taille d’un mot : On appelle généralement "taille d’un mot" le nombre de bits utilisés par un ordinateur pour stocker un entier. Les tailles des mots les plus courants sont de 8, 16, 32 et 64 bits.

La plupart des ordinateurs actuels possèdent des mots 64 bits.

Dans le système binaire, chaque position successive en allant vers la gauche indique une valeur deux fois plus importante que celle juste à droite : ... 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Position	….	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Valeur	….	2⁸	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
Ou	….	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Système octal

Le système octal utilise la base 8, ainsi nous aurons seulement 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cette base obéira aux mêmes règles que la base 10, vue précédemment, ainsi on peut décomposer (745)₈ de la façon suivante :

(745)₈ = 7 × 8² + 4 × 8¹ + 5 × 8⁰
(745)₈ = 7 × 64 + 4 × 8 + 5 × 1
(745)₈ = 448 + 32 + 5

Dans le système octal, chaque position successive en allant vers la gauche indique une valeur huit fois plus importante que celle juste à droite : …. 512, 64, 8, 1.

Position	….	5	4	3	2	1	0
Valeur	….	8⁵	8⁴	8³	8²	8¹	8⁰
Ou	….	32768	4096	512	64	8	1

Système hexadécimal

Ce système utilise 16 comme base. Il y aura donc 16 symboles ! Etant donné que nous connaissons juste 10 chiffres, les mathématiciens ont eu une idée : utiliser des lettres. Voici la liste des symboles du système hexadécimal, en ordre :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Le A vaut 10 (en décimal), le B vaut 11 ; le C vaut 12, le D vaut 13, le E vaut 14 et le F vaut 15.

La base 16 est utilisée pour réduire encore plus l'écriture des nombres. Elle permet de faire une conversion très facile par paquets de 4 bits.

Exemple : C8FB.

C8FB=C.16³ + 8. 16² +F. 16¹ + B.16⁰

=12. 16³+ 8. 16² +15. 16¹ + 11. 16⁰

NB. Si un nombre est exprimé en base b, on ne doit plus retrouver le symbole b (ou supérieure à) dans l’écriture de ce nombre.

Exemple : 1258 ne peut pas être une représentation octale, ni une représentation binaire d’un nombre. Mais peut être une représentation décimale ou hexadécimale

REPRESENTATION DES IMAGES (POINTS, VECTEURS)

On représente les images en points et vecteurs dans les circuits numériques des ordinateurs. Cette technique permet de décrire et manipuler les images de manière précise et efficace.

Représentation d’une image par points : Image matricielle

Une image matricielle ou image en mode point (ou en anglais image « bitmap » ou « raster ») est une image numérique constituée d’un ensemble de points appelés pixels (pixel est une abréviation de PICture ELement).Un pixel (px) est donc la plus petite unité constitutive d’une image numérique.

Cette représentation en points permet de stocker et traiter les images de manière numérique, en effectuant des opérations pixel par pixel.

Représentation d’une image par vecteurs : Image vectorielle

Une image vectorielle est une image numérique composée d’entités géométriques telles qu’un cercle, un rectangle, polygone ou un segment de droite, obtenues par des formules mathématiques (un rectangle est défini par deux points, un cercle par un centre et un rayon ; une courbe par plusieurs points et une équation).

Cette représentation vectorielle permet de manipuler les images de manière plus souple et indépendante de la résolution, en travaillant sur les propriétés géométriques plutôt que sur les pixels.

Exemple du cercle :

EXERCICES

CONTROLE DES CONNAISSANCES

1-Définir : système de numération.

2-Citer 04 systèmes de numération.

3-Parmi les systèmes énumérés, lequel est utilisé dans la vie courante ?

4-Combien de symboles ou chiffres comptent les systèmes suivants :

a-binaire

b-décimal

c-octal

d-hexadécimal

5-Dans un système de base b, on ne doit pas retrouver un chiffre supérieur ou égal à b : VRAI ou FAUX.

EXERCICE I :

On considère les nombres suivants :

a) 110110 c) 11101F e) 11111

b) 121001 d) 81110 f) 3F49

Lesquels de ces nombres ne peuvent pas être :

1-Une représentation binaire ?

2-Une représentation octale ?

3-Une représentation décimale ?

EXERCICE II :

On définit deux ensembles suivants :

E= {15670,1B56 ; 1210 ; 1359 ; 1110 ; 17568}

F= {base 2 ; base 8 ; base 10 ; base 16}

On définit la relation : « peut-être une représentation en base »

Former les couples possibles de E et F.

EXERCICE III :

1- On considère les textes suivants :

Texte 1 : CEBAC

Texte 2 : LAFAC

Texte 3 : CFA

Lequel de ces textes ne peut pas être une représentation hexadécimale

2- Les circuits numériques des ordinateurs utilisent seulement le chiffre 0 et 1

2.1-Dans quelle base sont exprimés ces chiffres ?

2.2-Comment appelle-t-on ce langage ?

EXERCICE IV :

…. On ne peut pas agrandir ou rétrécir une image matricielle sans perte de qualité (on verra apparaitre les pixels ou « pixellisation »). Ce problème ne se pose pas avec les images vectorielles. Malgré l'inconvénient de perte de qualité et d'apparition de pixels ‘’pixellisation’’, les images matricielles sont plus souples et on peut les traiter "pixel par pixel".

Cependant, les images vectorielles présentent 2 avantages : elles occupent peu de place en mémoire et peuvent être redimensionnées sans pertes d’informations et sans effet dit : d’escalier (crénelage)…

En se servant de ce texte et de vos connaissances en Informatique, répondez aux questions suivantes :

1.Definir : pixel

2.Identiffier un inconvénient et un avantage qu’on a lorsqu’on représente une image en points.

3.Identifier deux avantages qu’on a lorsqu’on représente une image en vecteurs.

CORRIGES

CONTROLE DES CONNAISSANCES

1-Un système de numération est une manière de représenter des nombres par de chiffres et des symboles.

2- binaire (base 2)

-octal (base 8)

-décimal (base 10)

-hexadécimal (base 16)

3- décimal

a-binaire :2 (0,1)

b-octal :8 (0,1,2,3,4,5,6,7)

c-décimal 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

d-hexadécimal :16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

5- VRAI

EXERCICE I :

1-121001 ; 1110F ; 81110 ; 3F49

2-11101F ; 3F49 ; 81110

3-11101F ; 3F49

EXERCICE II :

Couples possibles :( 15670,8) ; (15670,10) ; (15670,16) ; (17568,10) ;(17568,16) ;(1B56, 16) ;(1359,10) ; (1359,16) ; (1210,8) ; (1210,10) ; (1210,16).

EXERCICE III :

1. LAFAC

2.1 base 2

2.2 Binaire (en base 2)

EXERCICE IV :

1. Un pixel (px) est la plus petite unité constitutive d’une image numérique. Il se présente sous la forme d’un petit carré invisible à l’œil nu, mais fréquemment décelable lorsqu‘on agrandit une portion d’image.

2.- un inconvénient : apparition des pixels visibles lorsqu’on agrandit ou rétrécit l’image d’où la perte de qualité

-un avantage : plus souples puisqu’on peut les traiter’ pixel par pixel.’

3. -elles occupent peu de place en mémoire

-elles peuvent être redimensionnées sans pertes d’informations et sans effet dit : d’escalier (crénelage)

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