INEQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

DEFINITION :

On appelle inéquation du second degré toute inéquation faisant intervenir un trinôme du second degré.


Exemple : -2x² + 10x - 12 > 0 est une inéquation du second degré dans R:

Méthode d Pour résoudre une inéquation du second degré,
on dresse le tableau de signe du trinôme associé puis on détermine l’ensemble des valeurs qui satisfont cette
inéquation.

Signe du polynôme du second degré p(x) = ax² + bx + c
.            Pour étudier le signe du polynôme du second degré p(x) = ax²+bx+c,

 On calcule le discriminant ∆ = b²-4ac
et on a les tableaux de signes suivants selon le signe de ∆.
1. Si ∆ < 0, alors p(x) n’est pas factorisable, il n’admet pas de racines, son signe est celui de a et son tableau de signe est le suivant :

x	-∞.                                                                               +∞
ax^2 + bx + c	signe de a

2. Si ∆ = 0, alors p(x) est factorisable, sa forme factorisée est

p(x) = a (x + )²,

 il admet une racine double x₀ =-b/2a 
, son signe est celui de a .p(x) est un carré parfait et son tableau de signe est le suivant :

x	-∞.                                         - b/2a                                           +∞
ax^2 + bx + c	signe de a.                                0                            signe de a

 3. Si ∆ > 0, alors p(x) est factorisable, il admet deux racines

sa forme factorisée est p(x) = a(x - x₁)(x - x₂), son tableau de signe est le suivant en supposant  x₁ < x₂.

x	-∞.                      .                   .                                    .+∞
p(x)	signe de a.          0 signe contraire de a 0.             signe de a

Remarque :

Lorsqu’un trinôme du second degré ax² +bx+c est factorisable et admet deux racines distinctes
alors son signe est celui de a à l’extérieur des racines et celui de -a à l’intérieur des racines.
Propriété Si un polynôme ne s’annule pas sur un intervalle, alors il garde un signe constant sur cet intervalle

Méthode de résolution :

Pour résoudre une inéquation du second degré, la méthode est la suivante :

1-on étudie le signe de l’expression après avoir déterminé les racines

2-on écrit l’ensemble de solution en tenant compte du symbole d’inégalité ()

Exemple :

Résoudre dans IR l’inéquation : x²+2x-3>0

Solution :

La forme factorisée est (x-1)(x+3)

Les racines sont x₁=1 et x₂=-3

x	-∞                           -3 1                                   +∞
x^2+2x-3	+                         0       -          0             +

S=]-∞, -3[U]1, +∞[

Remarques :

-si le symbole de l’inégalité est ≤ ou ≥, alors les intervalles sont fermés.

-si le symbole de l’inégalité est < ou >, alors les intervalles sont ouverts.

Inéquations de degré supérieur ou égal à 3.

Le programme est le suivant :
1. Déterminer une racine évidente α du polynôme P (x).
2. Trouver un polynôme q(x) de degré 2 tel que p(x) = (x - α)q(x).
3. Résoudre les équations x - α = 0 et q(x) = 0 puis déduire les solutions

Exemple : Résoudre dans IR : -x³+7x+6 ≤0

P(1)= -(-1)³ +7(-1)+6=0 => -1 est une racine évidente

P(x)=(x+1)(ax² +bx +c)=(x+1)(-x²+x+6)

=(x+1)(-x-2)(x-3)

P(x)≤0 =>(x+1)(-x-2)(x-3)≤0

Inéquations irrationnelles

.         On appelle inéquation irrationnelle, toute inéquation possédant un radical (qui comporte le symbole Ѵ).

Inéquations de la forme 

  si et seulement si 

Exemple :

 =>   =>   =>S=

Inéquations de la forme 

 si et seulement si OU

Exemple :

 =>=> => S₁=[-4,-2[

=>=> S₂=]-∞,-4[

S=S₁US₂=]-∞,-2[
Inéquations de la forme 

 si et seulement si 

Exemple : Résoudre dans IR : 

=>=>  S=

Inéquations de la forme 

*k≥0

*k<0

Inéquations de la forme 

*k≥0

*k<0

Exemple : Résoudre :<2

<

Inéquations rationnelles

Pour résoudre une inéquation rationnelle, il est préférable de s’aider d’un graphique. De plus, il est primordial de déterminer les asymptotes.

 Exemple1 : Résoudre dans IR :  +4

On trace les courbes  y=6  e t y = +4

On trouve : S=

Exemple 2 : Résoudre dans IR :   <x+3

On trace les courbes y=x+3 et y=

On trouve : S=

EXERCICES

EXERCICE I : Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :
a) 3x² - 6x + 3 < 0,

b) -x² + 3x + 4 ≤ 0

c) 5x² - x -4 < 0

EXERCICE II: Résoudre dans R, chacune des inéquations suivantes :

a)
b)

c)

d)

e)

EXERCICE III:

1.Resoudre dans R l’inéquation :

 x²-194x+384<0
2.Dans un magasin de paris, love bénéficie toujours d’une remise de x% (x<10). En décembre, le magasin lui accorde une remise exceptionnelle de (x+6)% en plus de celle dont elle bénéficie habituellement. Love veut acheter un téléviseur de 100000F. Dans quel intervalle se situe la remise habituelle faite a Love, si elle paie moins de 90160F.

EXERCICE IV:

On considère l’inéquation (I) : x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000 ≥ 0

et le polynôme p(x) défini par
p(x) = x³ + 4002x² - 4992000x - 10000000
1. Montrer que :

p(x) = (x - 1000) (x + 5000) (x + 2).
2. Dresser le tableau de signe du polynôme p ; puis en déduire dans R l’ensemble solution de (I).
3. Une entreprise produit des voitures qu’elle commercialise. Le coût de fabrication (en milliers de FCFA) d’une voiture est de 5 millions de FCFA. Cet entreprise produit x voitures et la fonction qui modélise les prévisions pour la vente de ces x voitures est donnée par Pv(x) = x³+4002x²+8000x-10000000. On s’intéresse au bénéfice, c’est-à-dire à la différence entre la recette et le coût de fabrication. Lorsque cette différence est strictement positive, on dit que la production est rentable. Déterminer la quantité de voitures à produire pour que la production soit rentable