NOMBRES RATIONNELS

INTRODUCTION

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer sous la forme d’une fraction, c.-à-d. comme quotient de deux nombres entiers. Les nombres rationnels incluent les fractions, les nombres entiers et les décimaux qui peuvent être exprimés sous forme de fraction.

Exemples :3/4, -1/5

Toutes les fractions sont des rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas forcément des fractions. Par exemple, 3 est un rationnel (3/1), mais il n’est pas nécessairement représenté sous forme de fraction.

Définition :

L’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme , où a est un nombre entier relatif et b un nombre entier relatif non nul est appelé ensemble des nombres rationnels. Cet ensemble se note ℚ.

Remarque :

Si la division de a par b admet une écriture décimale infinie et périodique, alors est un nombre rationnel non décimal.

Rappel : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule ou non et avec un nombre limité de chiffres après la virgule.

OPERATIONS SUR LES NOMBRES RATIONNELS

Inverse

Soit une fraction avec b≠0

L’inverse de cette fraction est :

Simplification

Pour simplifier une fraction, on trouve un diviseur commun a ses deux termes. Ensuite on divise le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.

Exemple :

On veut simplifier la fraction

On constate que les deux termes de cette fraction sont divisibles par 3

On a donc :

On ne peut plus trouver un diviseur commun a 4 et 117. On dit que la fraction est irréductible.

Rendre une fraction irréductible

Une fraction irréductible est une fraction dont le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur est 1. Pour rendre une fraction irréductible, on peut simplifier cette fraction par le pgcd du numérateur et du dénominateur.

Exemple : rendre irréductible les fractions suivantes :

Pgcd(228,120)=4

NB : On peut aussi faire des simplifications successives.

Réduire deux fractions au même dénominateur

Pour réduire deux fractions aux mêmes dénominateurs on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction et on multiplie le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction

Exemple : Mettre et au meme denominateur

Addition et soustraction

Soient a, b, c et d quatre nombres entiers relatifs avec b≠0 et d≠0

· Les deux fractions ont un même dénominateur

Règle : On additionne(retranche) les numérateurs et on garde le dénominateur commun

Exemples :

· Les deux fractions ont des dénominateurs différents

Règle : On réduit les fractions au même dénominateur, on obtient deux fractions avec le même dénominateur et on revient au cas précèdent.

Exemples :

Multiplication

Règle : On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemple :

Division

Règle : On multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

Exemple :

Propriété : Pour tout réels a, b, c et d avec b et d différents de zéro

Exemple : Déterminons x pour qu’on ait

EXERCICES

EXERCICE I :

1- Ecrire sous forme décimale :

2- Ecrire sous forme fractionnaire :2,5 et 8,55

3- Parmi les nombres rationnels suivants : ; ; -;8

Écrire ceux qui sont des nombres décimaux relatifs.

5-Rendre irreductible les fractions

EXERCICE II :

Effectue les opérations suivantes et donne le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :

EXERCICE III:

Situation :

Un établissement d’enseignement secondaire a présenté 200 candidats aux différents examens (BEPC, PROBATOIRE et BAC), session de 2025 dans les proportions suivantes :

-BEPC :3/5 des candidats présentés.

-PROBATOIRE : 1/4 des candidats présentés.

-BAC : le reste des candidats présentés.

On connait par ailleurs le nombre de candidats admis :

-BEPC :60

-PROBATOIRE : 40

-BAC : 18

Taches :

1. Quel est le nombre de candidats présentés pour chaque examen ?

2.Quelle fraction représente les candidats au BAC ?

3.Calculer le taux de réussite global de cet établissement.

EXERCICE IV :

Situation :

Pour recevoir ses amis, Bijou prépare un cocktail de jus de fruit. Dans un pot gradue, elle met les 3/8 de jus d’orange et les 0,15 de jus de papaye. Elle rajoute ensuite le jus d’ananas pour qu’il y ait trois fois plus de jus de papaye, puis elle complète le pot avec le sirop de grenadine.

1. Calculer la proportion du jus d’ananas.

2. Déterminer l’ecriture en ligne de la proportion du sirop de grenadine.

3.Calculer la proportion du sirop de grenadine.

EXERCICE V :

Situation :

Anna entre dans un supermarché avec 19200 FCFA pour faire des achats. Elle utilise le quart de cette somme pour acheter des ustensiles de cuisine, le tiers du reste pour acheter les produits de beauté qu’elle pourra revendre. Elle règle également une dette dont le montant correspond à 12,5% du montant encore disponible.

1-Quel est le montant des ustensiles de cuisine ?

2- Quel est le montant des produits de beauté ?

3- Y a-t-il un reste après ces dépenses ?

EXERCICE VI:

Dans une classe de 3e, 2 /3 des élèves désirent poursuivre leurs études en seconde d’enseignement général,

1/ 6 veulent aller en seconde technique et les 5 élèves restant souhaitent aller en seconde littéraire.

1. Quelle fraction du nombre d’élèves de la classe veut aller en seconde littéraire ?

2. Déterminer le nombre d’élèves de la classe.

3. Déterminer le nombre d’élèves de la classe désirant poursuivre leurs études en seconde d’enseignement général.

CORRIGES

EXERCICE I :

1- Ecrivons sous forme décimale :