INEQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Définition

              Une inéquation de premier degré dans IR est une inégalité entre deux polynômes du premier degré ou alors entre un polynôme de premier degré et 0.
Résoudre dans IR une inéquation de premier degré c’est déterminer l’ensemble de tous les nombres qui vérifient cette inéquation. Cet ensemble est appelé ensemble solution noté S et est très souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles.

Inéquation du type ax+b < cx+d

              Pour résoudre ces types d’équations, on renvoie les termes en x d’un côté de l’inégalité (de préférence du celui de gauche) et les termes constants de l’autre côté.

Exemple: Résoudre dans IR

2x+5< x +3

<=>2x-x<3-5

<=> x< - 3   => S=]←,-3[

Rappel :

·
Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre réel négatif non nul, l’inégalité change de sens.

· Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un nombre réel positif non nul, l’inégalité ne change pas de sens.

Exemple : résolvons les inégalités suivantes :

· 5x+3<2x-6 < = >5x-2x<-6-3

                   < = >3x<-9 =>x<-3

· x+3≥+5x < = >x-5x≥-3

              < = >-4x≥-3  =>x≤3/4

· -x-2>3x < = >-x-3x>2

                       < = >-x-3x>2

                        < =>-4x>2 =>x>-1/2

Signe du polynôme p(x) = ax + b

La racine (ou le zéro) du polynôme du premier degré ax + b est – b/a

.            La règle de signe de ce polynôme est donnée par le tableau de signe ci-après

x	-∞.                               – b/a.                                           +∞
ax + b	signe contraire de a.       0                                         signe de a

Exemple: Résoudre  -2x + 3<0

Etude du signe de -2x + 3

La racine est 3/2

x	-∞.                                3/2                                           +∞
-2x + 3	+                                   0                                         -

S= ]3/2,+∞[

Inéquation du premier degré de la forme ax+by+c<0

Méthode graphique
         Pour représenter l’ensemble des points dont les coordonnées sont solutions d’une inéquation du 1er degré dans IR×IR, on procède comme suit :
-On trace la droite dont l’équation est associée à l’inéquation.
-On hachure la partie du plan vérifiant l’inégalité.

Exemple : Résoudre l’inéquation : 2x-y+5>0

Soit la droite(D) d’équation 2x-y+5=0, on considère le point A (-3,1)

On a : 2(-3) -1+5=-2 et -2 >0 est faux.

Donc le couple (-3 ;1) n’est pas solution de l’inéquation2x-y+5>0.

Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation 2x-y+5>0 est le demi plan ouvert de frontière(D) ne contenant pas le point A (-3,1)     

EXERCICES

EXERCICE 1:  Résoudre dans. IR les inéquations suivantes :  

1.  5x+3<2x-6

2.  2 ≥ x+2

3.  x+6 ≥3x

4.  -2x+5>x-1

EXERCICE 2: Résoudre dans. IR les inéquations suivantes :  

1.  -3x + 1> x+3

2. 2(3x-1) + 3(x-1) ≥0

3.│x-6│≤3

4.│3x+2│<4

5.│-x+5│≤2

EXERCICE 3 :

1.Etudier les signes des expressions suivantes :

a-p(x)=x+2

b-q(x)=(x+2)(x-3)

c-f(x) = (-x+3) / (x-1) avec x#1

d- g(x)= -x+5

2.En déduire les ensembles des solutions des inéquations : p(x) < 0; q(x)≥0 et f(x)≤0

EXERCICE 4:

1.Un commerçant dépense 75 F pour fabriquer 150 glaces. Le prix d’une glace est de 2,5 F. Combien doit-il faire de glace pour réaliser un bénéfice supérieur à 76F?

2.Vous avez 6000F pour prendre un taxi en course. La course coute 1500F plus 300F par km. On désigne par x le nombre de km parcourus. Écrire l’inéquation permettant de calculer a combien de kilomètre pourra vous conduire avec 6000F

EXERCICE 5 :

Résoudre l’inéquation :2x+3y-1<0

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