EQUILIBRE DES SOLIDES
‐
GENERALITES
Projection
d’une force sur deux axes :
Une force peut être décomposée selon deux (trois…) directions quelconques mais
le plus souvent, elle est décomposée selon deux directions perpendiculaires
entre elles. Ainsi, la projection de la force 
:
-sur l’axe horizontal est 
-sur l’axe vertical est 
Du point de vue des intensités
Si les deux composantes ont des directions perpendiculaires, on peut
facilement calculer leurs normes (intensités) si on connaît la norme
(intensité) F et l’angle α qu’elle fait avec l’horizontale.
EQUILIBRE
DU SOLIDE SOUMIS A PLUSIEURS FORCES
Condition
d’équilibre :
Pour qu'un solide
soumis à plusieurs forces 
,
soit en équilibre, il faut que la résultante
des forces soit nulle.
Equilibre d’un solide sur
un plan horizontal
Soit une bille en équilibre sur un plan horizontal.
Bilan des forces
: Poids des livres
: Réaction de la table sur les livres
Condition d’équilibre : 
+=
En projetant les forces sur chaque axe x (axe horizontal) et y(axe
vertical)
• Sur axe x : 
+
=
soit en module 0 +0 =0 car la projection de ces
forces sur l’axe des x est nulle.
• Sur axe y :
+
= soit en module R-P=0 => R=P=mg
Equilibre
d’un corps suspendu à un fil
Le corps est suspendu au point A, par un fil de masse négligeable. Il est
en équilibre et soumis à l’action deux forces :le
poids du corps et la tension du fil.
Bilan des forces
: son poids
: la tension du fil
Condition d’équilibre : 
En projetant les forces sur chaque axe x (axe horizontal) et y(axe
vertical)
• Sur axe x :
soit en module 0+0=0
• Sur axe y :
soit en module T-P=0 => T=P=mg
Equilibre
d’un corps accroché à un ressort
On dispose d’un ressort vertical à spires non-jointives suspendu à
une potence de longueur à vide l0. À l’autre extrémité on suspend différentes
masses marquées et on mesure chaque fois l’élongation du ressort.
Bilan des forces
: son poids
: la tension du fil
Condition d’équilibre : 
=
En projetant les forces sur chaque axe x (axe horizontal) et y(axe
vertical)
• Sur axe x :
+= soit en module 0+0=0
• Sur axe y :
+= soit en module T-P=0 => T=P=mg
Or T=kΔl=k(l-l0) => k(l-l0) =mg. =>
K est la constante de raideur du ressort. Il
s’exprime en newton par mètre ( N/m)
Equilibre
d’un solide sur un plan incliné
Bilan des forces
: force qui maintient le
solide en équilibre
: son poids
: la tension du fil
Condition d’équilibre : 
En projetant les forces sur chaque axe x (parallèle au plan) et y
(perpendiculaire au plan)
• Sur axe x :
+ 
=
soit en module F+0-Psinɑ=0.
=> F=Psinɑ
• Sur axe y :
+ 
=
soit en module 0+R-Pcosɑ=0.
=>R=Pcosɑ
Conclusion :
Pour qu'un objet soit à l'équilibre de translation sur un plan incliné, il faut
que les forces de frottements aient la même intensité que la composante du
poids (Gx) entrainant l'objet vers le bas
EQUILIBRE
DU SOLIDE MOBILE AUTOUR D’UN AXE FIXE
Bras
de levier
On appelle « bras de
levier » d d’une force par rapport à un centre de rotation O, la distance
entre la ligne d’action de F et le centre de rotation.
C’est la longueur du segment qui lie le centre O à la ligne d'action de la
force, ce segment étant perpendiculaire à cette ligne d'action.
Comme le bras de levier est une distance, son unité SI est le mètre (m).
Moment d’une
force par rapport à l’axe
Soit un solide (S) mobile autour d’un axe de
rotation (∆). La force 
orthogonale à l’axe tend à faire
tourner le solide (S) dans le sens positif arbitrairement choisi.
d
On
appelle moment
de la force par rapport à l’axe (∆) le produit de
l’intensité de la force par la distance entre la droite d’action de la force et
l’axe. Cette distance d est le bras de levier.
M∆ (
) = F.d
F
en newton(N)
d en mètre (m)
M
en newton.mètre (N.m)
Le moment d'une force
par rapport à un point donné (ce point, souvent appelé pivot ou centre de
rotation) est une grandeur physique traduisant l'aptitude de cette force à
faire tourner un système mécanique autour de ce point.
Remarque:
·
Si la ligne d'action d'une force passe par le centre de rotation alors son
bras de levier est nul et le moment de cette force par rapport ce centre de
rotation est aussi nul.
·
On définit pour cela un sens positif (sens trigonométrique) pour lequel les
moments de forces par rapport à un centre de rotation feront tourner l'objet
dans un sens et un sens négatif pour lequel les moments de forces feront
tourner l'objet dans l'autre sens (par rapport au même centre).
Application :
M=Frsinϴ
NOTION DE COUPLE DE FORCE
1-
Définitions
Un couple de force est
un système de deux forces parallèles, de même intensité, de sens contraires
n’ayant pas la même droite d’action.
2-Moment d’un
couple de force
Le
moment d’un couple de forces est égal au produit de l’intensité de l’une des
forces par la distance des droites d’action des deux forces.
M =F1.d=F2.d
3-Le couple de torsion
Lorsqu’on tord
un fil d’un angle α et qu’on le lâche, il a tendance à revenir à sa
position initiale lorsque cesse la torsion.
Le moment du
couple de torsion est :
M=Cα
α angle de
torsion en radians (rad):
C :
constante de torsion du fil en newtons.mètres
par radian (N.m.rad-1))
4- couple moteur, couple résistant
• Un couple moteur a pour effet d'engendrer un mouvement ou d'en
augmenter la vitesse de rotation.
• Un couple résistant a pour effet de s'opposer au mouvement ou d'en
ralentir la vitesse de rotation.
CONDITION
D’EQUILIBRE D’UN SOLIDE MOBILE AUTOUR D’UN AXE
Condition d’équilibre de rotation
On vient de voir que le moment d'une force est la grandeur physique qui
caractérise la rotation d'un solide.
Si un objet est soumis à plusieurs forces il sera soumis à l'action de
plusieurs moments de forces.
Théorème des moments : (Condition d’équilibre
d’un solide mobile autour d’un axe fixe)
Lorsqu’un
solide mobile autour d’un axe fixe est en équilibre sous l’action des forces
orthogonales à l’axe, la somme algébrique des moments par rapport à l’axe de
toutes ces forces est nulle.
∑M∆
() = 0
GENERALISATION
: CONDITIONS D’EQUILIBRE D’UN SOLIDE
Lorsqu’un système
quelconque est en équilibre dans un repère terrestre :
·
La somme vectorielle de toutes les forces extérieures est nulle.
=
·
La somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport à un axe
(Δ) quelconque est nulle.
∑
(
) =0
EXERCICES
EXERCICE
I :
Un ressort a une longueur à vide l0 =30cm.
On accroche à ce ressort un solide de masse 600g. Il s’étire et sa longueur
devient l=35 cm.
1 Quelle est
l’allongement ∆l de ce ressort ?
2 Calculer le poids de
ce solide. (g=10N/kg)
3 En déduire la
constante de raideur K de ce ressort.
EXERCICE
II :
Un ressort s’allonge de 30 cm après suspension
d’un solide de masse 40 Kg.
1- Calculer la constante de raideur de ce
ressort. (g=9,80N/kg)
2-En déduire sa longueur initiale l0
sachant que l=100cm
EXERCICE
III :
Un cycliste exerce une force de 400N sur la
pédale de son vélo. La pédale a une longueur de 16 cm.
1-
Calculer
le moment de cette force lorsque la pédale est horizontale.
2-
Calculer
le moment de cette force lorsque la pédale est inclinée de 60° par rapport à
l’horizontale vers le bas.
EXERCICE IV :
1-Une tige AB de masse négligeable est mobile
autour d’un axe (∆) perpendiculaire en O au plan. On donne : OA=20cm ;AB=50cm .. Une force 
de 30 N est appliquée en A.
.
1.1-Enoncer le théorème des moments
1.2-Calculer le moment de par rapport à l’axe (∆)
1.3-Calculer l’intensité de la force 
2-
Le solide (S) de masse M et de rayon r =20 cm est soumis à l’action de 4 forces
,
, 
et 
.Sachant qu’il est en équilibre,
calculer :
. 2.1-
Le moment de par rapport à l’axe (
.
2.2- Le moment de et de 
2.3- L’intensité de
|
On donne : F1=30N, P=R=25N, r=20cm, OQ=15cm et |
|
|||||||||||
CORRIGES :
EXERCICE
I :
1.Δl =l-l0=35-30=5cm
2. P = mg = 0,6x10=6N
3. T=kΔl or T=P donc k Δl=mg
=>k=mg/ Δl=6/0,05=120N/m.
EXERCICE
II :
1. k=mg/ Δl =40x9,8/0,3=1367 N/m
2.. Δl =l-l0 =>l0=l-
100-30=70cm
EXERCICE
III :
1. M∆
(
) = F.d=400x0,16=64 Nm.
2. M∆ () = F. dcos60=400x0,16x
=32 Nm.
EXERCICE
IV :
1.1. Lorsqu’un
solide mobile autour d’un axe fixe est en équilibre sous l’action des forces
orthogonales à l’axe, la somme algébrique des moments par rapport à l’axe de
toutes ces forces est nulle.
∑M∆
() = 0
1.2. M∆
(
) = FA.OA=30x0,2=
6 Nm.
1.3. M∆
(
) + M∆
(
) =0 <= >FA.OA
= FB.OB =>FB=
FA.OA/OB=30X0,2/0,3=20 N.
2.1 M∆ (
) = F1.r=30x0,2= 6 Nm.
2.2 M∆ (
)= M∆
(
)=0
2.3 M∆ (
) + M∆
(
) +M∆
(
) + M∆
(
) =0
<= > F1.r -
= 0
<= >
F1.r =>F2=F1xr/OQc0s45=30x0,2/0,15x0,707=56,6N.