OSCILLATEUR ELECTRIQUE : CIRCUIT RLC

LES OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES

Montage expérimental

On considère le montage schématisé ci-dessous :

-générateur de tension continu

-condensateur de capacite C

-bobine montée en série avec un résistor R

-On place l'interrupteur sur la position 1 de façon à charger le condensateur.

- A une date choisie comme origine des temps (t=0), on bascule l'interrupteur sur la position 2. Le condensateur se décharge alors dans le dipôle RL.

L’énergie électrique emmagasinée par le condensateur chargé, est progressivement convertie en énergie magnétique par la bobine et inversement. Ces conversions alternatives d’une forme d’énergie en une autre justifie les oscillations électriques dont le circuit RLC est siège ces oscillations sont dites libres car l’évolution du système ne dépend pas d’un acteur extérieur.

Etude théorique d’un oscillateur électrique libre

Oscillations libres avec amortissement

On s'intéresse à la décharge du condensateur dans le dipôle RL. La loi d'additivité des tensions appliquée au circuit s’écrit :

u_C + u_R +u_L =0

La charge q du condensateur est proportionnelle à la tension uC à ses bornes : q =C.u_C

Soit encore :

C’est l’équation différentielle qui régit la variation, dans le temps, de la charge du condensateur.

Oscillations libres sans amortissement : cas limite du dipôle LC

Le circuit LC est un cas limite de circuit idéal dont la résistance serait nulle (R=0). L'équation différentielle du circuit LC s’écrit :

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

q(t)=Q_mcos(ω₀t+φ)

Dans cette relation, Q_m, w₀ et j sont des constantes à déterminer.

- Qm est l'amplitude q(t). Elle s'exprime en coulombs (C).

- ω₀ est la pulsation propre des oscillations électriques. C'est une grandeur qui s'exprime en radian par seconde (rad.s-1)

- φ est la phase à l'origine. C'est une grandeur qui s'exprime en radian (rad).

L’expression donnant est :

On définit la période propre T₀ des oscillations électriques libres par la relation :

LES OSCILLATIONS ELECTRIQUES FORCEES

Lorsqu’on branche un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension sinusoïdale de fréquence réglable, en série avec un résistor R ,un condensateur de capacité C et une bobine d’inductance L, le circuit RLC ainsi formé est le siège d’oscillation forcées car sa fréquence est imposée par un dispositif extérieur.

Etude théorique d’un dipôle RLC

Dans un dipôle RLC, la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales de même fréquence et présentant un déphasage φ.

Soit i(t)=I_mcosωt , alors u(t)=e(t)=U_mcos(ωt +φ),

La loi d’additivité des tensions appliquée a la figure ci-dessus donne : -e(t) +u_L+u_R+u_C=0 => u(t)=e(t) =u_L+u_R+u_C

Soit :

En tenant compte des expressions :

Ri=RImcos ωt

On a :

Construction de Fresnel

La tension u(t), somme de trois tensions sinusoidales de même fréquence est donnée par : u(t)=U_mcos(ωt +φ), La fonction sinusoïdale u(t) = Um.cos(ωt+ φ) est représentée par un vecteur (dit de Fresnel)

- de longueur Um

- faisant par rapport à l ’axe horizontal à instant t=0 un angle

• à instant t=0 un angle φ

• à instant t un angle (ωt+ φ)

-tournant dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire ω

La construction de Fresnel donne :

Caractéristiques du dipôle série RLC

· Impédance :

L’impédance d’un circuit RLC est donnée par :

· Déphasage :

Deux relations permettent d’établir le déphasage φ de la tension par rapport au courant :

-si la tension est en avance de phase sur le courant(φ>0) l’effet inductif est plus important que l’effet capacitif,

- si la tension est en retard de phase sur le courant(φ<0) l’effet capacitif est plus important que l’effet inductif,

- si la tension est en phase avec le courant(φ=0) les effet inductif et capacitif se compensent. Ce cas survient à la résonnance d’intensité.

Résonnance d’un circuit RLC

Il y a résonnance d’intensité quand la fréquence du générateur est égale à la fréquence propre du dipôle :

La condition de résonnance implique :

-

-

-

Dans un circuit RLC série, a la résonnance d’intensité, l’impédance est minimale et égale a la résistance, l’intensité efficace du courant est maximale, et la tension et le courant sont en phase.

Bande passante a trois décibels

La bande passante a trois décibels d’un dipôle RLC est l’intervalle de fréquence pour lequel la puissance P transmise au dipôle est supérieure ou égale a la moitie de sa valeur P_R a la résonnance.

Aux limites de la bande passante :

La puissance étant proportionnelle au carré de l’intensité, les limites de la bande passante sont telles que :

La bande passante a -3dB correspond donc aux valeurs des fréquences pour lesquelles I(t) est supérieure ou égales a

Les fréquences limites sont telles que :

En utilisant l’expression de Z, on obtient les équations :

Les pulsations limites ω1 et ω2 sont les solutions positives de ces deux équations :

La largeur de la bande passante est donc l’intervalle :

Elle est d’autant plus grande que R est grand (résonnance floue)

Facteur de qualité et surtension a la résonnance

Le facteur de qualité note Q d’un dipôle RLC est le rapport :

C’est un nombre sans dimension qui rend donc compte de l’acuité de résonnance (caractère plus ou moins sélectif) d’un circuit : plus le facteur de qualité est grand, plus la résonance est aigue. Cette grandeur s’exprime aussi en onction des caractéristiques du dipôle RLC :

A la résonance, le rapport des tensions aux bornes du condensateur (et de la bobine), a celui de la tension appliquée aux bornes du dipôle est 

:

Soit :

Les tensions efficaces aux bornes du condensateur et de la bobine peuvent donc être beaucoup plus grandes que celle appliquée aux bornes du circuit RLC. Ce phénomène est appelé surtension a la résonance et le facteur de qualité Q encore appelé acteur de surtension.

PUISSANCE ELECTRIQUE EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE

Puissance instantanée

I=IѴ2cosωt et u=UѴ2 cos(ωt+ φ)

P=ui=2UI cosωt cos(ωt+ φ)=UIcos φ +UIcos(2ωt+ φ) // cosacosb=1/2[cos(a+b) +cos(a-b)]

Puissance moyenne

La puissance moyenne P est la valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période

U est en volts(V)

I en ampères (A)

P en watts (W)

C’est aussi la puissance active. La puissance active correspond à l'énergie par unité de temps réellement consommée.

Le rapport entre la puissance active et la puissance apparente est appelé facteur de puissance.

Puissance apparente

La puissance apparente se note S et a pour définition :

S = U x I

S - s'exprime en voltampères (VA).

Si Z est l'impédance du circuit envisagé, on peut remplacer I par le rapport U/Z. La puissance apparente s'exprime alors par la relation : S = U²/ Z

Puissance réactive

La puissance réactive se note Q et a pour définition

: Q = U x I x sin φ = S x sin φ

Q - s'exprime en voltampères réactifs (VAR).

Si X est la réactance équivalente du circuit envisagé (selfique ou capacitif),

Elle s'exprime encore par l'expression :

Q = U²/ X

La puissance réactive correspond à de l'énergie alternativement fournie et restituée.

Puissance consommée par un dipôle RLC série

cos φ=R/Z et U=ZI => P=RI²

Tout l’énergie électrique consommée dans un dipôle RLC série est absorbée par effet joule dans le résistor.

Importance du facteur de puissance

Dans une installation électrique demandant une puissance P sous une tension U imposée par le distributeur. L’intensité du courant appelé est :

Et la puissance perdue par eet oule le long d’une ligne distributrice de résistance r est :

La résistance r de la ligne étant fixée, de même que la tension d’alimentation U et la puissance P à fournir, les pertes sont inversement proportionnelles a

Elles sont d’autant plus grandes que le facteur de puissance est petit. Or le déphasage dans une installation dépend de l’utilisateur. C’est pourquoi les sociétés distributrices d’énergie pénalisent les installations industrielles de moyenne puissance dont le facteur de puissance est inferieur a une certaine limite (très souvent 0,93) et qui sont responsables d’un surcroit d’énergie non facturable dans les lignes distributrices.

Pour relever le facteur de puissance, on utilise des condensateurs que l’on branche en parallèle avec l’installation.

Entretien des oscillations d'un circuit RLC série

Pour entretenir les oscillations, il faut ajouter au circuit RLC un dispositif qui restitue à chaque instant l'énergie perdue par effet Joule. Toutefois, il faut savoir que c'est un dispositif à "résistance négative" qui apporte à chaque instant au circuit RLC une puissance R.i².Le bilan de puissance sera ainsi nul.

dE /dt =-R.i² + R.i² = 0

On aura ainsi une énergie constante (E = Cte). Les oscillations sont entretenues de période T égale à la période propre T₀.

EXERCICES

EXERCICE I :

Un condensateur de capacite C=10μF, préalablement chargé par une tension continue de valeur U_C=10 V est relié à une bobine de résistance négligeable et d’induction L=0,1 H. A l’instant initial, la charge du condensateur est Q₀ et l’intensité est nulle.

1.Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit la charge q du condensateur.

2.Exprimez la charge en fonction du temps.

EXERCICE II:

On réalise le montage ci-dessus dans lequel le condensateur est initialement déchargé et la bobine d’inductance L et de résistance r.

Données :L=40 mH ;C=100nF ;R=100Ω ; E=10 V.

1-Etude du régime continu

L’interrupteur étant fermé et la bobine supposée de résistance nulle (bobine idéale).

1.1-Exprimer la tension U_C aux bornes du condensateur et déduire la charge q du condensateur.

1.2-Determiner les intensités dans chacune des branches du circuit.

2. Etude du régime transitoire

On ouvre l’interrupteur a l’instant t=0

21-Etablir l’équation différentielle

22-Sachant qu’a t=0, le condensateur est déchargé et que i=i₀=-0,10 A. déterminer les expressions instantanées de q(t) et i(t).

On précisera les valeurs numériques de l’amplitude, de la pulsation et de la phase dans les deux cas.

3-On suppose maintenant r=10 Ω expliquer physiquement ce qui se passe dans le circuit.

.

EXERCICE III :

Entre deux points A et B, on établit une tension sinusoïdale u = Umsinωt de fréquence f = 50 Hz.

1° Un appareil purement thermique, de résistance R = 100Ω, branché entre A et B est traversé par un courant d’intensité efficace 1,2A. En déduire la valeur numérique de Um, ainsi que l’expression numérique de u(t).

2° Une bobine de résistance négligeable, placée seule entre A et B, laisse passer également un courant de 1,2 A.

2 .1 Déterminer l’inductance de la bobine.

2.2 Donner l’expression i(t) de l’intensité du courant dans la bobine.

3° On monte en série entre A et B l’appareil thermique ( voir 1°), la bobine ( voir 2°), et un condensateur de capacité C = 10 μF. Calculer :

3.1 L’intensité du courant efficace dans le circuit.

3.2 La ddp aux bornes de chaque appareil.

3.3 Construire le diagramme vectoriel des tensions.

3.4 Calculer la puissance consommée par le circuit.

3°5 Déterminer la capacité du condensateur qu’il aurait fallu utiliser pour obtenir l’intensité maximale. Quelle est dans ce cas, la valeur en fonction du temps de l’intensité instantanée i(t) ?

EXERCICE IV :

On place en série, entre deux points A et B, une bobine d’inductance L et de résistance interne négligeable, un résistor de résistance R=80 Ω et un condensateur de capacite C. L’ensemble est soumis à une tension sinusoïdale u(t)=UѴ2cos(ωt+φ) avec U=100V.

L’intensité efficace du courant est 0,5A. Un voltmètre place entre les bornes du condensateur indique 120V.

1.Calculer l’impédance du circuit RLC

2.Sachant que l’impédance du condensateur est supérieure a celle de la bobine, calculer la phase φ de la tension par rapport au courant.

3.Representer sur un diagramme de Fresnel les tensions U_R, U_L ,U_C et U. en déduire la tension efficace U_L aux bornes de la bobine.

EXERCICE V :

On établit aux bornes d’un circuit RLC série une tension sinusoïdale de valeur efficace U=200 V

On fait varier la fréquence N. A chaque valeur de N correspond une intensité efficace I.

On obtient le tableau :

N(Hz)	400	500	600	700	780	800	900	1000
I(A)	0,75	1,5	2,8	4	2,8	2,5	0,75	0,5

1.Tracer la courbe de l’intensité I=f(I)

2.En déduire le facteur de qualité.

3.Calculer les valeurs de R, L et C.

EXERCICE V :

Situation problème

Dans le laboratoire du collège, les élèves de terminale réalisent une expérience. Ils montent un oscillateur (RLC) électrique libre (circuit 1) et constatent qu'il est le siège des oscillations, amorties (graphe 1).
Ils décident donc d’améliorer le circuit 1 et obtiennent le circuit 2 (résonance d’intensité) qui est un oscillateur électrique forcé sans amortissement (Graphe 2).
Pour expliquer le phénomène d'amortissement, NGANDO I'un des élèves estime que celui-ci est dû à la dissipation de l'énergie par effet Joule ce qui se traduit par (dETdt=−Ri2) où ET est l’énergie totale du circuit (document 1).
Par ailleurs, les élèves ont des difficultés à choisir le GBF approprié à partir des GBF mis à leur disposition ( Document 2) pour obtenir un oscillateur non amorti.
Document 1 : informations utiles V
I - Énergie totale d'un circuit RLC : ET=Econdensateur+Ebobime
Rappel mathématique d(x2)dt=2xdxdt
Document 2 : Caractéristiques des GBF disponibles
A : u=105sin(100πt)
B : u=105sin(200πt)
C : u=105sin(100πt+π2)
D : u=105sin(100πt)
Données :
R=295Ω, r=5Ω et i=0,35sin(100πt)
En exploitant les informations ci-dessus et à I'aide d'une démarche scientifique,
1. Examine la déclaration de NGANDO.
2. Aide les élèves à choisir le GBF. Baccalauréat C 2024

Situation problème 2: Série C / 8 points
Un vendeur de composant électronique reçoit très souvent les plaintes de ses clients sur la qualité des pièces et décide de vérifier les caractéristiques des pièces restantes dans le magasin
(Document)
Il fait appel à sa fille Angélique élève en classe de terminale C pour l'aider à faire ce travail. Une fois au laboratoire de l'établissement l'élève réalise les expériences suivantes :
Document : Composants disponibles dans le magasin.
Résistor (R=85Ω ), bobine (1,2 H ; 15Ω); condensateur (C=6μF)

Expérience 1
Elle monte le résistor aux bornes d'un générateur de tension constante U= 6 V, l'intensité du courant est alors I = 0,0706 A.

Expérience 2
Elle monte la bobine et le résistor en série. Ce circuit est alimenté par un générateur de tension constante U= 6 V. l'intensité du courant est alors I = 0,06 A.

Expérience 3
Elle monte le condensateur initialement déchargé en série avec le résister. Ce circuit est alimenté par un générateur de tension constante. Un dispositif approprié a permis de constater que la constante de temps du dipôle est τ=0,5 ms.

Expérience 4
Le résister, la bobine et le condensateur sont montés en série et alimentés par un générateur basse fréquence (GBF) qui délivre une tension sinusoïdale. Un oscillographe est branché et permet de suivre les variations des deux tensions.
On fait varier la fréquence délivrée par le GBF dans le circuit, les deux courbes obtenues sur l’oscillographe sont en phase. L'intensité du courant dans le circuit est de la forme : i(t)=Im cos(136πt)
En exploitant les informations ci-dessus et partir d'un raisonnement logique , propose à Angélique la réponse qu'elle doit donner à son père.

Baccalauréat C 2021

CORRIGES

EXERCICE I :

Orientons le circuit.

Désignons par q, la charge portée par l’armature du condensateur reliée au point A, …par uc et uL respectivement, les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine et fléchées comme l’indique la figure ci-dessus. Avec ces conventions on a les relations suivantes :

Et comme : u_L+u_C=0

On reconnait l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation :

2-La solution est du type :

q(t) = Qm. cos(ωt + φ) Avec les conditions initiales, à t=0, q=Qm=+Qo et donc: cosφ =1; soit φ = 0 Et Qo=C.U_C=10.10^-6.10 = 1,0.10^-4 C.

Soit:

On trace ci-dessous les graphes de q(t) et de sa dérivée i(t)=dq/dt=-Qowsinwt

EXERCICE II :

1-Regime continu

1.1-Tension aux bornes du condensateur

En continu, le condensateur de capacite C ne laisse pas passer le courant, la bobine idéale se comporte comme un court-circuit, r étant nul dans un premier temps =>U_C=0

U_C=Cq=0 => q=0

1.2- I_C=0

I_L=E/R=10/100=0,1 A

2. Régime transitoire

2.1-Lorsqu’on ouvre l’interrupteur, le condensateur se décharge dans la bobine supposée idéale.

u_C + u_R +u_L =0

La charge q du condensateur est proportionnelle à la tension u_C à ses bornes : q =C.u_C

u_C + u_R +u_L =0 <= >

Soit encore :

On trouve une équation différentielle de second ordre sans second membre.

La solution est de la forme q(t)=Q_msin(ωt +φ).

Qm=CU_C=CI_C /Cω0=E/R ω0=10/100x0,0158x10⁶ =6,329.10^-6 C

A t=0, q=0 <= > Q_msin(0 +φ)=0 =>sinφ=0 =>φ=0 ou π

Comme i=i₀=-0,1<0 donc cosφ<0 alors φ=π

=> q(t)= -6,329.10^-6sin1,58.10⁴t en C

i(t)=dq(t)/dt= -6,329.10^-6x1,58x10⁴ cos1,58.10⁴t= -0,1cos1,58.10⁴t en A

EXERCICE III :

1° u=Ri < => Umsinωt=RIѴ2sinωt <=>Um=RIѴ2=100x1,2xѴ2=169,2 V

u(t)= 169,2sin314t

2°

2 .1- inductance de la bobine.

2.2

i= IѴ2sin(ωt+φ)=1,2xѴ2xsin(100πt-π/2)

=1,69sin(314t -π /2)

3°

3.1 L’intensité du courant efficace dans le circuit.

Um=UѴ2=>U=Um/Ѵ2=169,2x1,41

= 120V

ω=100x3,14=314

Z_R=R=100

Z_L=Lω=0,32x314=100,48

Z_C=1/Cω=1/10.10^-6x314=318,47

Ω

3.2 La ddp aux bornes de chaque appareil.

U_R=RI=100x0,5=50V

U_L=LωI=0,32x314x0,5=50,24V

U_C=I/Cω=0,5/10.10^-6.314-=0,5/0,00318.10^-5=159 V

3.3-

3.4- Puissance consommée par le circuit.

P=UIcosφ=UIR/Z=120x0,5x100/239,83=25W

3°5

C’est la résonnance d’intensité

LCω₀²=1 => C=1/Lω₀²=1/0,32x(314)²=3,17.10-5 F=0,32μF.

EXERCICE IV :

1-L’impédance Z du circuit :

Z=U/I=100/0,5=200 Ω

2-Appelons Z_L l’impédance de la bobine sans résistance Z_C>Z_L, comme le montre le diagramme de Fresnel en impédance (ci-dessous), la tension u aux bornes de RLC est en retard sur i et donc :

φ=0

3- Le diagramme de Fresnel en tension a même allure que celui en impédance :

EXERCICE V:

1.Traçons le graphe I=f(N): Nous obtenons la courbe de réponse en intensité du circuit RLC Pour N=No=700Hz, I=Imax=4A, c’est la résonance d’intensité.

Reportons sur le graphe les abscisses des points d’ordonnée :

Nous obtenons la courbe de réponse en intensité du circuit RLC

2.Pour N=No=700Hz, I=Imax=4A, c’est la résonance d’intensité.

La largeur de la bande passante à 3dB est ΔN=780-600=180 Hz

Le facteur de qualité est :

Q=N/ΔN=700/180=3.9

3.R=U/Imax=200/4=50W

EXERCICE VI:

Situation problème
Il s'agit de montrer que la variation d'énergie dans l’oscillateur RLC libre est due à l’effet Joule.
Pour cela il faut :
• Établir l’expression de l'énergie totale emmagasiné dans le circuit ;
• Établir l’expression de la variation de cette énergie cours du temps ;
• Comparer l’expression obtenue à celle de l’énergie dissipée par effet Joule et conclure.
1.1. Détermination de l’expression de l’énergie totale ET.
ET=Econdensateur+Ebobine
ET=q22C+Li22
1.2. Détermination de la variation de l’énergie totale en fonction du temps
dETdt=qCdqdt+ Lididt=i (qC+Ldidt)
Or Ici des mailles ou équation différentielle du circuit RLC :
qC+Ldidt+(R+r)i =0⇔qC+Ldidt =−(R+r)i
dETdt=−(R+r)i2
I.3. Comparaison:
L’expression dETdt=−(R+r)i2 traduit le même phénomène que dETdt=−Ri2
Dissipation d’énergie par effet Joule:
Conclusion : NGANDO a raison.

EXERCICE VII:

Avis sur les caractéristiques des composants électroniques
Il s'agit de déterminer les caractéristiques réelles des pièces afin d'apprécier leur qualité.
Pour cela, nous allons 2
• Exploiter les résultats des expériences pour déterminer :
La résistance du résister ;
La résistance de la bobine ;
La capacité du condensateur :
L’inductance de la bobine.
• Comparer aux valeurs inscrites ct conclue.
l. Exploitation de l'expérience l.
Détermination de la résistance (R) du résistor
D'après la loi d'Ohm. R=UI =85Ω
2. Exploitation de l'expérience 2.
Détermination de la résistance (r) de la bobine.
U=(R+r)I ⇒r=UI− R=15Ω
3. Exploitation de l'expérience 3.
Détermination de la capacité (C) du condensateur.
Le dipôle constitué en série d'un résister et d'un condensateur, alimenté par une tension constante, donne lieu à un régime transitoire de constante de temps
τ=RC⇒C =τR=6× 10−6F
4. Exploitation de l'expérience 4.
Détermination de l’inductance (L) de la bobine.
• Le dipôle RLC ainsi constitué est en oscillations forcées.
• Comme les tensions u et uR sont en phase, il s’agit d'une résonance d’intensité.
• Condition de résonance :
LCω20=1 ⇒L= 1Cω20=0,91H
5. Comparaison:

Composant	Caractéristiques		Observation
	Inscrites	obtenus expéri mentalement
Résistor	R = 85 Ω	Rexp=85Ω	Valeurs identiques
Bobine	r=15Ω L=1,2H	rexp=15Ω Lexp=0,91H	Même valeur de la résistance, mais les valeurs de l’inductance sont différentes
Conden sateur	C=6F	Cexp=6F	Valeurs identiques

Conclusion :
• Au regard des caractéristiques des composants vendus :
le résistor et le condensateur sont de bonne qualité ;
la bobine n'est pas de bonne qualité

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