OSCILLATEUR ELECTRIQUE : CIRCUIT RL

MISE EN EVIDENCE DES REGIMES TRANSITOIRES

Généralités

Tout bobinage parcouru par un courant crée un champ magnétique proportionnel à l’intensité i. Lorsque l’intensité i dépend du temps, il apparaît aux bornes de la bobine une fém d’auto-induction (phénomène d’induction). En convention récepteur, cette fém s’écrit (en supposant la bobine idéale, c’est-à-dire sans résistance) :

L est le coefficient d’auto-induction de la bobine en henrys(H)

Le rôle d’une bobine d’auto-induction est de s’opposer à toute modification du courant dans un circuit (loi de Lenz). En particulier, l’intensité du courant dans une bobine est nécessairement continue.

L’association en série d’une bobine et d’un résistor constitue un dipôle RL.

Dispositif expérimental

On réalise un circuit électrique comprenant :

-Un générateur basse fréquence (GBF) délivrant une tension en créneaux dont les valeurs sont successivement 0V et 6V et dont la fréquence est réglée à la valeur f=100 Hz

-Une bobine inductive

-Un résistor de résistance R

-Lorsque le générateur délivre une tension u_max=E, l’intensité du courant croit jusqu’à atteindre une valeur maximale constante, mais cette augmentation est lente.

-Lorsque u=0, l’intensité du courant décroît jusqu’à s’annuler ; cette extinction de courant est lente aussi.

-L’établissement et l’extinction du courant, lentes à atteindre sont conformes à la loi de Lenz.

Energie emmagasinée.

L’énergie E_magn emmagasinée est donnée par la relation :

L en henrys(H)

I en ampères(A)

E_mgn en joules(J)

L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue du temps.

Equation différentielle d’évolution du circuit

u(t)=u_L+u_R

Soit encore :

Cette équation différentielle traduit l’évolution du courant en fonction du temps :

-pendant l’établissement du courant :

u(t)=E =>

Les solutions sont de la forme :

-pendant l’interruption du courant

u(t)=0 =>

Les solutions sont de la forme :

ETUDE DU CIRCUIT RL EN REGIME SINUSOÏDAL

Soit le circuit suivant :

L'ensemble est alimenté par une tension sinusoïdale, u(t)=e(t)=U_mcos(ωt +φ), de valeur efficace U et de fréquence 50 Hz. Cette tension se décompose en deux tensions partielles U_R et U_L. La résistance et la bobine sont en série ; ils sont donc traversés par le même courant d'intensité efficace I (indiqué sur le schéma).

I_R = I_L = I

Tension instantanée aux bornes d’un dipôle RL

Dans un dipôle RL, la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales de même fréquence et présentant un déphasage φ.

Soit i(t)=I_mcosωt , alors u(t)=e(t)=U_mcos(ωt +φ),

La loi d’additivité des tensions appliquée a la figure ci-dessus donne :

u(t)=e(t) =u_L+u_R

Soit :

En tenant compte des expressions ci-dessus :

On a :

Construction de Fresnel

Le courant étant commun aux deux éléments, on le choisit comme origine des phases.

Le vecteur , de longueur proportionnelle à la résistance R, est porté par la direction de I (en phase).

Le vecteur , de longueur proportionnelle à la réactance X_L=Lω, est perpendiculaire à la direction de I (déphasé de +π/2).

Le vecteur résultant des deux tensions partielles, représente la tension appliquée U. Cette résultante est ici l'hypoténuse du triangle rectangle. Sa longueur est proportionnelle à l'impédance Z.

- La tension aux bornes de la résistance R est en phase avec le courant et

U_R = R x I.

- La tension aux bornes de la bobine L, supposée parfaite, est déphasée de +π/2 avec le courant (avance de T/4) et

U_L = X_L x I=LωI.

- Les deux tensions partielles sont donc en quadrature.

Caractéristiques du dipôle RL

· Impédance

D’après le théorème de Pythagore,

· Déphasage de la tension appliquée par rapport au courant.

L’angle de déphasage tension/courant est positif et dépendra du rapport existant entre R et X_L à la fréquence de travail du circuit.

Cet angle est tel que :

Puissance moyenne consommée par le dipôle RL

· La tension étant en quadrature avance sur le courant : φ=π/2 donc cos φ=0.

· La puissance moyenne est P=0 ; une bobine non résistive ne consomme globalement pas d’énergie : l’énergie emmagasinée au cours d’une alternance est restituée au cours de l’alternance suivante.

EXERCICES

EXERCICE I :

On réalise le montage représenté dans la figure 1 et qui constitué de :

- un générateur de force électromotrice E=6 V et de résistance négligeable ;

- une bobine de coefficient d’inductance L=15 mH et de résistance négligeable ;

- un conducteur ohmique de résistance R réglable ;

- un interrupteur K .

On règle la résistance R sur une valeur R₁ et on ferme l’interrupteur K à un instant t=0 que l’on considère comme origine du temps.

1- Etablir l’équation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t).

2- La solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

Déterminer à partir de cette solution l’expression de la constante en fonction des paramètres du circuit.

3- On règle la résistance R sur la valeur R₂=2R₁

Trouver l'expression de la nouvelle constante de temps en fonction de . En déduire l’effet de la valeur de R sur l’établissement du courant dans le dipôle RL.

EXERCICE II :

On réalise le circuit électrique, schématisé sur la figure 1, qui comporte :

- Un générateur de tension de f.e.m.

E =12V ;

- Une bobine d’inductance L et de résistance négligeable ;

- Deux conducteurs ohmiques de résistance R = 40 W et r=8 Ω ;

- Un interrupteur K.

On ferme l’interrupteur K à l’instant t=0.

1. Déterminer la valeur de I_P ; l’intensité du courant électrique en régime permanent .

2. Etablir l’équation différentielle régissant l’établissement du courant i(t) dans le circuit.

3. Soit , la solution de cette équation différentielle.

Trouver les expressions de A et de en fonction des paramètres du circuit.

4. Calculer la valeur de l’inductance L de la bobine si la constante de temps vaut 3s.

5. Trouver l’énergie E emmagasinée par la bobine à l’instant t= t /2.

EXERCICE III :

Un circuit électrique se compose d'une bobine réelle en série avec une résistance, tel que représenté ci-dessous :

1 - Déterminer, à l'aide de la construction de Fresnel, quelle tension alternative U (à 50 Hz) il faut appliquer aux bornes du circuit pour que celui-ci soit parcouru par un courant I de 0,6 A ? Echelle : une division correspond à 20 V.

2 - Quelle est alors la tension U_Laux bornes de la bobine réelle ?

3 - Déduire ou calculer l'impédance Z_L de la bobine réelle.

4 - Calculer l'impédance Z du circuit.

CORRIGES

EXERCICE I :

1- Equation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t).

-u(t)+u_L+u_R=0=>u(t)=u_L+u_R