CALCULS DANS IR

ENSEMBLE IR DES RÉELS

ℕ désigne l’ensemble des nombres entiers naturels exemple :0 ;1 ;2 …
ℤ désigne l’ensemble des nombres entiers relatifs : ce sont des nombres entiers naturels précédés ou pas
du signe + ou -. Exemples : -1000 ; -1 ; 0 ; 1 ; 14
𝔻 désigne l’ensemble des nombres décimaux. Un nombre décimal relatif est un nombre décimal précédé du signe moins ( ) ou du signe ( ). Lorsque le nombre est précédé du signe moins, il est dit négatif. Le nombre est positif lorsqu’il est précédé du signe plus.
ℚ désigne l’ensemble des nombres rationnels. Un nombre rationnel est un nombre pouvant se mettre sous
la forme où 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 sont des nombres entiers relatifs.
Certains nombres ne sont pas des nombres rationnels ils sont dits irrationnels

Exemples : √2; √7; √27; 𝜋

L’ensemble ℝ des nombres réels est l’ensemble constitué des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
Remarque : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

FRACTIONS

Opérations sur les fractions

Description: Description: image010

Propriété: Pour tout réels a, b, c et d avec b et d différents de zéro

Règles de priorités

Dans une suite d’opérations, l’ordre de priorité est le suivant :
- Les parenthèses : elles indiquent les calculs à effectuer en premier. On commence les calculs par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.

-Les puissances.
-La multiplication et la division.
-L’addition et la soustraction.

PUISSANCE

v Soient a et b deux nombres réels, m et n deux nombres entiers. On a : 𝑎⁰= 1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 ≠ 0;

· 𝑎^𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎 (𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠);

· 𝑎^-^𝑛 = . ( ≠ 0).

· 𝑎^𝑛 × 𝑎^𝑚 = 𝑎 ^𝑛⁺^𝑚;

· (𝑎^𝑛)^𝑚 = 𝑎 ^𝑛^×^𝑚 ;

· (𝑎 × 𝑏)^𝑛 = 𝑎^𝑛 × 𝑏^𝑛

· (-a)ⁿ=aⁿ si n est pair ou –aⁿ si n est impair

· ()ⁿ=

VALEUR ABSOLUE

Soit a un nombre réel quelconque, le plus grand des deux nombres réels –a et +a est appelé valeur absolue de a.

On note : │a│

On lit: «valeur absolue de a»

Exemples: │-7│=+7et │+7│=+7

│Ѵ7 - 2│ =Ѵ7 -2

et │2-Ѵ7│=Ѵ7-2

Propriétés:

· │a│

· │a│=0 <=> a=0

· │a│=│-a│

· │a│= -a si a<0 ou a si a>0

· │a│=│b│ <=> a=b ou a=-b

· │axb│=│a│x│b│

· Si b est #0,

· │a+b│ │a│+│a│

· |a| ≤ r <=> -r ≤ a ≤ +r

NOTIONS D’INTERVALLES

Un intervalle est un ensemble de tous les nombres réels compris entre deux valeurs a et b appelées bornes de l’intervalle.

a et b pouvant être moins l’infini (←) ou plus infini (→)

Un intervalle s’écrit entre deux crochets.

Exemples:

· Intervalle ouverte:]a,b[

<= > a < x < b

· Intervalle fermée:[a,b]

<= > a≤x < b

· Intervalle semi-ouverteou semi-fermée:

]a,b] < = > a <x ≤b

[a,b[ <= > a ≤ x < b

L’amplitude de l’intervalle est:

RACINES CARRÉES

v Soient a et b deux nombres réels strictement positif. On a:

Remarque : généralement, pour tous nombres réels positifs 𝑎 𝑒𝑡 b ,

COMPARAISONS

Propriétés sur la Comparaison

Soient a , b et c des nombres rationnels,
1.

· 𝑎 – 𝑏 = 0 signifie 𝑎 = 𝑏 ;

· 𝑎 – 𝑏 < 0 signifie 𝑎 < 𝑏 ;

· 𝑎 – 𝑏 > 0 signifie 𝑎 > 𝑏

Exemple : Comparons -19,25 et-19,06

-19,25-(-19,06)=-0,19<0 d’où -19,25 < -19,06

2.𝑎 < 𝑏 signifie 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

Exemple :

2<5 => 2+8<5+8
3.

· Si 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 > 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 × 𝑐 < 𝑏 × 𝑐 ;

· 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 < 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎 × 𝑐 > 𝑏 × 𝑐

Exemple :

2<5 => 2x8<5x8

4. a < b => , a et b positifs

5. a < b =>a²< b², a et b positifs

6.a < b => Ѵa < Ѵb, a et b positifs

NOTIONS DE VALEUR APPROCHÉE

Soient x et y deux réels et l un réel positif,

y est la valeur approchée de x à l près signifie que la valeur │x-y│≤ l

On note: x ~ y à l près.

Le nombre l’ est appelé incertitude de cette valeur approchée.

Exemple: Faisons un encadrement de à 10^-3 près

On sait que: 1,166≤7/6≤,166

1,166 est la valeur approchée de 7/6 par défaut a 10^-3 près

1,167 est la valeur approchée de 7/6 par excès a 10^-3 près

Remarque:

La connaissance d’un encadrement de x permet de calculer sa valeur approchée.

Si x est compris entre a et b (a ≤ x ≤b) alors (b+a)/2 est la valeur approchée de x à (b-a)/2 près.

Exemple: Calculer la valeur approchée de 7/6 à 10^-4 près sachant que 1,166≤x ≤1,167 à 10^-3 près

V_a =(1,166+1,167)/2 =1,1665 à (1,167-1,166)/2 = 0,0005 = 5.10^-4 près.

1,1665 est la valeur approchée de 7/6 à 10^-4 près

NOTATION SCIENTIFIQUE

Un nombre réel A est exprimé en notation scientifique lorsqu’il peut s’écrire sous la forme A=a.10^p

avec (a ϵ R et p ε Z) et 1≤│a│≤10

Exemple: 0,0005=5.10^-4

Remarque:

Lorsqu’on déplace la virgule vers la gauche l’exposant augmente: 9,3.10^-5=0,93.10^-4=0,093.10^-3…
Lorsqu’on déplace la virgule vers la droite l’exposant diminue : 0,093.10^-3=0,93.10^-4=9,3.10^-5….