PENDULE SIMPLE

Description du pendule simple

Le pendule simple est formé par :

• un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l ;

• une bille de masse m accrochée à l'extrémité du fil.

Etude dynamique du pendule simple

Si on écarte le pendule d'un angle θ_m par rapport à la verticale et qu'on lâche le pendule, celui-ci se met à osciller dans le plan vertical.

· Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen ;

· On assimile la bille à un point matériel M qui ne subit que deux forces :

· Bilan des forces :

-le poids

- la tension du fil .

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la bille s’écrit :

Projetons maintenant le Principe Fondamental de la Dynamique dans la base de Frenet :

car

L’équation (1) nous permet d’écrire :

(3)

C’est l’équation différentielle d’un pendule simple non amorti. Ces solutions ne sont pas sinusoïdales.

Pour des oscillations de faible amplitude (θ < 0,026 rad), on peut écrire en première approximation sinθ ≈ θ en radian.

L’équation différentielle devient alors :

On pose :

(4)

Les solutions sont de la forme :

Θ=θ_msin(ω₀t +φ)

Les oscillations de faible amplitude d’un pendule simple sont donc sinusoïdales.

La pulsation propre d’un pendule simple est :

Sa période propre est :

T₀ en s

L en m

g en m.s^-2

Etude énergétique du pendule simple

a) Energie mécanique de l’oscillateur

Lorsque le pendule oscille d’une position extrême A vers sa position d’équilibre, l’énergie potentielle se convertit en énergie cinétique et inversement. A chaque instant, on a : Em = Ep +Ec

En négligeant les frottements,

· Au point A. point d’amplitude maximale :

Ep=mgz

Ec=0 (car v=0)

z=h=OC-OP=a(1-cosθ) => Ep=mga(1-cosθ)

Donc Em(A)= Ep

On suppose que le plan horizontal passant par C à l’équilibre, comme état de référence de l’énergie potentielle de pesanteur, Ep = 0 en C.

· Au point C, position d’équilibre :

Ep=0 (z=0 car C est le niveau de référence de l’énergie potentielle)

Ec=1/2 mv²=> Em(C) = Ec

· Pour une position M quelconque, Em=Ec + Ep =1/2 mv² + mga(1- cosθ)

Cas des oscillations de faible amplitude

Dans le cas des oscillations de faible amplitude, cosθ≈1-θ²/2

//car cosθ_m≈1-θ_m²/2 =>1-cosθ≈θ²/2

// on remplace Θ par θ_msin(ω₀t +φ) , et

//cos²x +sin²x=1

Conclusion : L’énergie mécanique d’un pendule simple non amorti est donc constante.

b) Etablissement de l’équation différentielle à partir de la conservation de l’énergie mécanique totale

Les frottements sont négligeables donc, Em est conservée.

En dérivant les deux termes de l’expression par rapport au temps, on a :

On retrouve l’équation déférentielle du mouvement du pendule simple.

EXERCICES

EXERCICE I :

Un pendule simple est constitué d’un fil de longueur 50 cm, fixé, par l’une des extrémités, à un support et un solide (S) de masse M=200 g, accroché à l’autre extrémité. On écarte le pendule de sa position d’équilibre et on le lâche.

1. Décrire le mouvement du pendule.

2. Dans quel plan oscille le pendule ?

3. Donner l’expression de la période des oscillations et la calculer

EXERCICE II :

On écarte un pendule simple de masse m = 10g d’un angle Ѳm = 8° et l’abandonne sans vitesse initiale. Il oscille librement. La longueur du pendule est l = 0,8m et

g = 9,8 m.s^-2. L’origine des énergies potentielles est le plan horizontal contenant le solide suspendu à la position d’équilibre.

1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement (faire le schéma).

2. Donner l’équation horaire de l’abscisse angulaire Ѳ sachant qu’à t = 0, le pendule passe par la position d’équilibre allant dans le sens des élongations décroissantes.

3. Calculer la période propre T₀ de l’oscillateur.

4. Calculer l’énergie mécanique du système Terre-pendule.

5. Lorsque le pendule passe par la position d’équilibre, le fil heurte sur une butée en un point A tel que OA = 40cm. De quel angle Ѳ’_m va-t-il s’élever de l’autre côté ?

EXERCICE III:

Un enfant se balance à l’aide d’une balançoire constituée d’une barre qu’il utilise comme siège, suspendue par deux cordes fixées à un support fixe. On modélise le système {enfant + balançoire} par un pendule simple composé d’un fil, inextensible de masse négligeable et de longueur L , et un corps (S) de masse m . Le système peut tourner autour d’un axe fixe horizontal (Δ) perpendiculaire au plan vertical. Le moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe (Δ) est JΔ = m.L²

Données :

Intensité de la pesanteur : g = 9,8 m.s^-2; longueur du fil : L = 3 m ; masse du corps (S) : m = 18 kg. O prend dans le cas de petites oscillations : sinθ ≈ θ et cosθ ≈ 1 - θ² /2 (rad). On néglige les dimensions du corps (S) par rapport à la longueur du fil et tous les frottements.

1,Étude dynamique du pendule : On écarte le pendule de sa position d’équilibre stable d’un angle θm= π /20 dans le sens positif et le libère sans vitesse initiale à l’instant t = 0 . On repère la position du pendule à un instant t par l’abscisse angulaire θ défini entre le pendule et la verticale passant par le point O tel que θ = (OMo,OM)

1-1-Montrer en utilisant la relation fondamentale de la dynamique de rotation autour d’un axe fixe, que l’équation différentielle du mouvement du pendule dans un référentiel galiléen lié à la Terre s’écrit :

1-2- Calculer la période propre To du pendule.

1-3-Écrire l’équation horaire du mouvement du pendule.

1-4- En appliquant la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet, trouver l’expression de la tension du fil T à un instant t en fonction de m , g , θ , L et v la vitesse linéaire du pendule simple . Calculer la valeur de T à l’instant t = To/ 4.

2Étude énergétique :

On fournit au pendule qui est immobile dans sa position d’équilibre stable une énergie cinétique de valeur E_C = 264,6 J, et il tourne dans le sens positif

2-1-On choisit le plan horizontal passant par le point Mo comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur (voire figure). Écrire l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur E_P du pendule à l’instant t en fonction de θ , m , L et g .

2-2-En se basant sur l’étude énergétique, déterminer la valeur maximale θmax de l’abscisse angulaire.

CORRIGES

EXERCICE I :

1. En vertu du principe fondamental de la dynamique, on a:

(1)

Dans la base de Frenet formée d’un vecteur tangentiel dirigé dans le sens du mouvement et d’un vecteur normal dirigé vers le point de suspension du pendule, projetons le Principe Fondamental de la Dynamique :