PROBABILITÉS

GENERALITES

Définitions :

Expérience aléatoire :

Une expérience (lancé un dé par exemple) est aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats ou issues et que l’on ne peut pas prévoir, à priori, quel résultat se produira.

Exemples :

- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.

- On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus.

- On fait tourner une roue marquée sur ses secteurs de couleurs différentes et on regarde le secteur marqué par la flèche.

Univers :

Soit E une expérience aléatoire donnant un nombre fini de résultats possibles, l’ensemble des résultats possibles est appelé univers. On le note :U ou Ω.

Eventualités :

Les éléments de l’univers Ω sont appelés éventualités.

Événement :

On appelle évènement les sous-ensembles de l’univers Ω

-L’événement formé d’un seul élément est appelé événement élémentaire.

-L’ensemble vide est l’événement impossible.

-Lorsque c’est tout l’ensemble Ω, l’événement est certain.

Exemples :

Expérience aléatoire : lancer d’un dé de 6 faces.

Eventualités :1 ou 4 par exemple //résultats possibles

Univers : Ω ={1,2,3,4,5,6}.

//ensemble des résultats possibles de l’expérience.

Un évènement A: ‘’obtenir le chiffre 4’’

Un évènement B : ‘’obtenir le chiffre 6’’

Ω étant l’univers des éventualités d’une expérience aléatoire, A et B des évènements de Ω

-l’évènement (A ou B) est la partie AUB //obtenir 4 ou 6

-l’évènement (A et B) est la partie A⋂B //obtenir 4 et 6

- l’évènement contraire de A est la partie

-On dit que l’évènement A et l’évènement B sont incompatibles lorsque l’évènement (A et B) est impossible

c.-à-d. A⋂B= ∅.

Probabilité d’un évènement

Définition

Soit Ω l’univers des événements d’une expérience aléatoire, on dit que l’on a défini une probabilité p sur Ω lorsque , a tout événement A de Ω, on peut associer un nombre réel appelé probabilité de A noté p(A) vérifiant les conditions suivantes :

-0≤p(A)≤1

- p(Ω )=1 et p(∅. )=0;

-La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Ainsi, si A={ x₁ ,x₂,…, x_n}

Propriétés

Soit p une probabilité sur l’univers Ω , A et B deux événements de Ω. Alors :

-P(AUB)=P(A)+p(B) - P(A⋂ B),

-Si A et B sont incompatibles si et seulement si A⋂ B=ø alors P(A⋂ B)=0 et P(AUB) = P(A)+P(B).

-A et son événement contraire forment une partition de Ω donc p(Ω)=p(A) + p() soit P() =1- P(A).

Résumons :

Exemple : On considère l’expérience aléatoire suivante : On tire une carte dans un jeu de 32 cartes à jouer. On considère les événements suivants :

A : « On tire un valet » P(A)=1/8

B : « On tire un roi » P(B) = 1/ 8

Les deux évènements A et B sont incompatibles, en effet A ∩ B = ∅.

On en déduit que la probabilité de l’évènement « Tirer un valet ou un roi » est égale à :

P(A∪B) = P(A)+P(B) =1/8 + 1 /8 = 1/4

Calculs des probabilités

Soit p une probabilité définie sur l’univers Ω des éventualités d’une expérience aléatoire, on dit qu’il y a équiprobabilité, si tous les évènements élémentaires de U ont la même probabilité.

Dans ce cas, pour tout évènement A de Ω

VARIABLES ALEATOIRES

Définition

Soit un univers fini Ω,

Une variable aléatoire X est une application définie de Ω dans IR.

L’ensemble X(Ω) des éléments que peut prendre X s’appelle univers image.

Si X(Ω) = (x₁, x₂,…,x_n), on note (X=xi), l’ensemble des éléments de Ω ayant pour image xi par X ; c’est aussi l’évènement ‘’X prend la valeur x_i’’.

Loi de probabilité

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers _Ω munie d’une probabilité p, la loi de probabilité associée à X est l’application définie de [0,1] dans IR, qui a xi ϵ X(_Ω) associe p(X=xi).

Remarque :

Pour définir une loi de probabilité associée à X, il suffit de se donner les probabilités élémentaires p(X=x₁), p(X=x₂),…, p(X=x_n) telle que

Fonction de répartition

La[H1] fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction

F :IR→IR

X→p(X<x)

Paramètres d’une variable aléatoire

· On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoire X, le réel E(X) défini par :

· On appelle variance d’une variable aléatoire Xi, le réel V(X) défini par :

· L’écart-type d’une variable aléatoire X est la racine carrée de la variance

PROBABILITES CONDITIONNELLES

Définition

p désigne une probabilité sur un univers fini Ω. A et B étant deux évènements de Ω, B étant de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que B est réalisé le réel noté :

Le réel p(A/B) se note aussi p_B(A) et se lit aussi’’ probabilité de A sachant B’’.

Remarque : Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et p(B/A) sont toutes les deux définies et on a :

p(A ∩ B) = p(A/B) ×p(B)

= p(B/A) × p(A).

Evènements indépendants

Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement

p( A ∩ B) = p(A)p(B).

Remarque :

Si p(A)≠0 et p(B)≠0, alors A et B sont indépendants lorsque p_B(A)=p(A) ou bien p_A(B)=p(B)

Formules des probabilités totales

Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω.

EXERCICE I :

On dispose d’un jeu de 32 cartes, on prend simultanément 8, ce qui constitue une main. Quelle est la probabilité

1.D’avoir exactement 2 as ?

2. D’avoir aucun as ?

3. D’avoir au moins un as ?

4. D’avoir exactement 2 cœurs et 3 piques ?

EXERCICE II :

1.On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. On considère les événements suivants :

A : « On obtient un nombre impair »

B : « On obtient un multiple de 3 »

Calculer la probabilité de l’évènement A∪B.

EXERCICE III :

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. Lorsqu’on a pile, on gagne 2 points. Lorsqu’on a face, on perd 1 point. On définit une variable aléatoire ‘’somme des gains’’.

1. Donner la loi de probabilité de X

2. Calculer l’expérience mathématique, la variance et l’écart-type de X.

EXERCICE IV :

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 € pour chaque résultat « pile » et on perd 1 € pour chaque résultat « face ».

1°) Quel est l’ensemble E des issues possibles ?

2°) Soit X l’application de E dans R qui, à chaque issue, associe le gain correspondant.

a) Quelles sont les valeurs prises par X ?

b) Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un gain de 3 € » ? On note cette probabilité p(X = 3).

EXERCICE V :

On lance deux fois un dé pipé tel que P(1)=P(3)=P(4)=1/2 et P(2)=P(6)=1/4.

Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit supérieure à 10 (strictement) sachant que :

1.Un des résultats est 6.

2. Le premier résultat est 6.

EXERCICE VI :

On considère une succession de sacs qu’on désigne par S₁, S₂, …, Sn …

Au départ le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc ; tous les autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S₁ que l’on place dans le sac S₂. Puis, on tire au hasard un jeton du sac S₂, que l’on place dans le sac S₃, et ainsi de suite.

CORRIGES

EXERCICE II :

1.

2.

3.

4. EXERCICE III :

P(A)= 1 /2 et P(B)= 2/ 6 = 1/ 3

A∩ B est l'événement élémentaire : « On obtient un 3 », donc : P( A∩ B) = 1/ 6

L'événement A∪ B a donc pour probabilité : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 /2 + 1 /3 – 1/ 6 = 3 /6 + 2 /6 − 1 /6 = 4/ 6 = 2/ 3

EXERCICE IV

1.Le tableau ci-dessous donne l’ensemble des éventualités forme des couples (F,P)

	F	P
F	(F.F)	(F,P)
P	(P,F)	(P,P)

CardΩ=4, l’univers image X(Ω) est donne par :

X(Ω)= {-2,1,4)

L’hypothèse d’équiprobabilité est vérifiée car le lancer se fait par hasard

P(X=xi) =card(X=xi)/ CardΩ

Le tableau suivant donne la loi de probabilité

xi	-2	1	4
P(X=xi)	1/4	2/4	1/4

VARIABLES ALEATOIRES

Définition

Soit un univers fini Ω,

Une variable aléatoire X est une application définie de Ω dans IR.

L’ensemble X(Ω) des éléments que peut prendre X s’appelle univers image.

Si X(Ω) = (x1, x2,…,xn), on note (X=xi), l’ensemble des éléments de Ω ayant pour image xi par X ; c’est aussi l’évènement ‘’X prend la valeur xi’’.

Loi de probabilité

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers Ω munie d’une probabilité p, la loi de probabilité associée à X est l’application définie de [0,1] dans IR, qui a xi ϵ X(Ω) associe p(X=xi).

Remarque :

Pour définir une loi de probabilité associée à X, il suffit de se donner les probabilités élémentaires p(X=x1), p(X=x2),…, p(X=xn) telle que

Fonction de répartition

La[H1] fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction

F :IR→IR

X→p(X<x)

Paramètres d’une variable aléatoire

· On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoire X, le réel E(X) défini par :

· On appelle variance d’une variable aléatoire Xi, le réel V(X) défini par :

· L’écart-type d’une variable aléatoire X est la racine carrée de la variance

PROBABILITES CONDITIONNELLES

Définition

p désigne une probabilité sur un univers fini Ω. A et B étant deux évènements de Ω, B étant de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de l’évènement A sachant que B est réalisé le réel noté :

Le réel p(A/B) se note aussi pB(A) et se lit aussi’’ probabilité de A sachant B’’.

Remarque : Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et p(B/A) sont toutes les deux définies et on a :

p(A ∩ B) = p(A/B) ×p(B)

= p(B/A) × p(A).

Evènements indépendants

Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement

p( A ∩ B) = p(A)p(B).

Remarque :

Si p(A)≠0 et p(B)≠0, alors A et B sont indépendants lorsque pB(A)=p(A) ou bien pA(B)=p(B)

Formules des probabilités totales

Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω.

EXERCICE I :

On dispose d’un jeu de 32 cartes, on prend simultanément 8, ce qui constitue une main. Quelle est la probabilité

1.D’avoir exactement 2 as ?

2. D’avoir aucun as ?

3. D’avoir au moins un as ?

4. D’avoir exactement 2 cœurs et 3 piques ?

EXERCICE II :

1.On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. On considère les événements suivants :

A : « On obtient un nombre impair »

B : « On obtient un multiple de 3 »

Calculer la probabilité de l’évènement A∪B.

EXERCICE III :

Un jeu consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie. Lorsqu’on a pile, on gagne 2 points. Lorsqu’on a face, on perd 1 point. On définit une variable aléatoire ‘’somme des gains’’.

1. Donner la loi de probabilité de X

2. Calculer l’expérience mathématique, la variance et l’écart-type de X.

EXERCICE IV :

On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 € pour chaque résultat « pile » et on perd 1 € pour chaque résultat « face ».

1°) Quel est l’ensemble E des issues possibles ?

2°) Soit X l’application de E dans R qui, à chaque issue, associe le gain correspondant.

a) Quelles sont les valeurs prises par X ?

b) Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un gain de 3 € » ? On note cette probabilité p(X = 3).

EXERCICE V :

On lance deux fois un dé pipé tel que P(1)=P(3)=P(4)=1/2 et P(2)=P(6)=1/4.

Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit supérieure à 10 (strictement) sachant que :

1.Un des résultats est 6.

2. Le premier résultat est 6.

EXERCICE VI :

On considère une succession de sacs qu’on désigne par S1, S2, …, Sn …

CORRIGES

EXERCICE II :

1.

2.

3.

4.

EXERCICE III :

P(A)= 1 /2 et P(B)= 2/ 6 = 1/ 3

A∩ B est l'événement élémentaire : « On obtient un 3 », donc : P( A∩ B) = 1/ 6

L'événement A∪ B a donc pour probabilité : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 /2 + 1 /3 – 1/ 6 = 3 /6 + 2 /6 − 1 /6 = 4/ 6 = 2/ 3

EXERCICE IV

1.Le tableau ci-dessous donne l’ensemble des éventualités forme des couples (F,P)

F

P

F

(F.F)

(F,P)

P

(P,F)

(P,P)

Si X(Ω) = (x₁, x₂,…,x_n), on note (X=xi), l’ensemble des éléments de Ω ayant pour image xi par X ; c’est aussi l’évènement ‘’X prend la valeur x_i’’.

Soit X une variable aléatoire définie sur l’univers _Ω munie d’une probabilité p, la loi de probabilité associée à X est l’application définie de [0,1] dans IR, qui a xi ϵ X(_Ω) associe p(X=xi).

Pour définir une loi de probabilité associée à X, il suffit de se donner les probabilités élémentaires p(X=x₁), p(X=x₂),…, p(X=x_n) telle que

Le réel p(A/B) se note aussi p_B(A) et se lit aussi’’ probabilité de A sachant B’’.

Si p(A)≠0 et p(B)≠0, alors A et B sont indépendants lorsque p_B(A)=p(A) ou bien p_A(B)=p(B)

On considère une succession de sacs qu’on désigne par S₁, S₂, …, Sn …