EQUATIONS ET INEQUATIONS TRIGONOMETRIQUES

EQUATIONS

Equation du type sinx=α

Si α ϵ [-1,1], alors il existe un réel β tel que sinβ=α

D’où :

Exemple1 : sinx=-Ѵ2/2 

sinx=-Ѵ2/2 <=> sinx=sin5π/4 =>

Exemple 2 :  sin(x+π)=sin(π/3-2x)

=>

=>

Exemple 3 : sinx=-Ѵ2/2 dans [0,2π]

Il faut en plus que 0<x<2π donc que 0<5π/4 +2kπ<2π

0<5π/4 +2kπ<2π

-5π/4 < +2kπ<2π -5π/4=3π/4

-(5/4 )/2<k<3/4)/2=

-0,625<k<0,375

k peut prendre la valeur 0

k=0 x=5π/4 +2(0)π= 5π/4

x=-π/4 +2(0)π=-π/4

S_[0,2π] ={ -π/4, 5π/4 }

Equation du type cosx=α

Si α ϵ [-1,1], alors il existe un réel β tel que cosβ=α

D’où :

Exemple1 : cosx=1/2 

cosx=1/2 <=> cosx=cosπ/3 =>

S_IR={

Exemple 2 :  cos(2x-π/2)=cos(3x+π) <=> ou avec kϵZ

=>

=>

Exemple 3 : cosx=1/2 dans [0,2π]

Il faut en plus que 0<x<2π donc que 0<π/3 +2kπ<2π

0<π/3 +2kπ<2π

0 -π/3 < +2kπ<2π -π/3=5π/3

(-1/3 )/2<k<(5/3)/2

-0,167<k<1,67

k peut prendre la valeur 0 ,1

k=0 x= π/3 +2(0)π= π/3

x= -π/3 +2(0)π= -π/3 ou 5π/3

k=1 x= π/3 +2(1)π= 7π/3 ou π/3

x=- π/3 +2(1)π= 5π/3

S_[0,2π] ={ π/3 , 5π/3 }

Equation du type sinx=cosa

sinx=cosa <=> sinx=sin (π/2-a) et cosa=cos(π/2-a)

Or sin (π/2-a)=cosa

cos(π/2-x)=sinx

<=> sinx=cosa

Equation du type tanx=α

Si α ϵIR, il existe un réel β tel que tanβ=α

Exemple : tan(x-π/6) =tan(π/4)

x-π/6=π/4 + kπ=> x=5π/12 +kπ, kϵZ

S_IR ={5π/12 +kπ, kϵZ]

Équation du type acosx + bsinx-c=0

Exemple : Résoudre cosx +Ѵ3 sinx=-Ѵ2

=> l’équation admet des solutions réelles,

=-

=>

=> avec kϵZ

S_IR={} kϵZ

INEQUATIONS TRIGONOMETRIQUES

Inéquation du type sinx <b, sinx ≥b :

Exemple 1 : sinx ≤ 1/2

sinx=1/2 < =>sinx=sinπ/6

=>

=>

1ere méthode : utiliser le cercle trigonométrique

On place sur le cercle trigonométrique les images de ces solutions.

Les points dont les images ont pour abscisses sont les points appartenant à l’arc orienté en rouge sur la figure ci-dessous,

donc si

En tournant toujours dans le sens mathématique positif et en notant les solutions sur le premier tour de cercle, nous lisons sur le graphique :

· Dans l’intervalle] -π,π] =>

S_{] -π,π]} = ]- π,π/6] U [5π/6, π]

· Dans l’intervalle [0,2π[ =>

S_{] 0,2π]} =[0,π/6] U [5π/6,2π[

2eme méthode : utiliser une fonction

On étudie la courbe f(x)=sinx-1/2 alors f(x)≤0

x	0 Π 5π/6 2π
f(x)	- 0 + 0 -

f(π/3)=sin(π/3) -1/2=Ѵ3/2 -1 ≥0 or π/3 ϵ [ π/6,5π/6]

S_{[ 0,2π[ =}[0,π/6] U [5π/6, 2π[

Inéquation du type cosx < a, cosx ≥ a

Exemple : cosx ≤ -Ѵ2/2

cosx=cos3π/4 <= >

On place sur le cercle trigonométrique les images de ces solutions.

Les points dont les images ont pour abscisses les points appartenant à l’arc orienté MM’, donc si

L’ensemble des solutions est donc la réunion de tous les intervalles de la forme

où k est un entier relatif.

Inéquation du type tan<a, tanx ≥ b

Exemple : tan(3x+π/2)>Ѵ3

tan(3x+π/2)=Ѵ3 =tanπ/3 < =>(3x+π/2)= π/3 +kπ

< =>(3x) = π/3-π/2 +kπ

=>x=-π/18 +kπ/3

D’après le graphique :

S_IR=]-π/18 +kπ/3,0[

EXERCICES

EXERCICE I :

1. Résoudre :

a. cosx = -Ѵ3/2

b.Ѵ3cosx-3sinx = 3

2.On considère un nombre réel x de l’intervalle [0,π/2] tel que sinx=1/4

a- Déterminer la valeur exacte de cosx

b-Déterminer avec la calculatrice en mode radian, une valeur approchée de x au millième près.

c- Vérifier à l’aide de la calculatrice la valeur obtenue en a.

3.Utiliser le cercle trigonométrique ci-dessous pour déterminer l’ensemble des solutions des équations :

a. cosx=-1/2 dans [0,π]

b. sinx=-/2 dans[-π/2,π/2]

c. 1-cos3x=0 dans [-π,π]

EXERCICE II : Résoudre dans l’intervalle I les inéquations suivantes :

1.2sinx-Ѵ3 ≥ 0 I= IR

2.cos(x-π/3) ≥ Ѵ3/2  I= IR

3. sinx ≥ 1/2 I= ] -π, π] ; I= ] 0,2π]; I= IR

4. sin2x ≤ 1/2 I= ] -π, π] ; I= ] 0,2π]; I= IR

5. cosx ≤ Ѵ2/2 I= ] -π, π] ; I= ] 0,2π]

EXERCICE III:

1. Développer cos(x+y) + cos(x-y)

2.Resoudre dans IR le système :

EXERCICE IV:

1.a) calculer (Ѵ2 +1)²

b) résoudre dans [0,2π] l’équation : 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2=0

2. résoudre dans [0,2π] l’inéquation : 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2≥0

CORRIGES

EXERCICE I :

1.a.

b. Ѵ3cosx-3sinx=3

=2Ѵ3

=> l’équation admet des solutions réelles,

=

=> avec kϵZ

{} kϵZ

// Ѵ3cosx-3sinx=3 <=> cosx-Ѵ3sinx=Ѵ3

<=> cosx-tanπ/3sinx=Ѵ3

<=>cosπ/3 cosx-sinπ/3sinx=Ѵ3

<=> cos(x+π/3)=Ѵ3/2

<=> cos(x+π/3)=cosπ/6

2.a-

3.Utiliser le cercle trigonométrique ci-dessous pour déterminer l’ensemble des solutions des équations :

a. cosx=-1/2 dans [0,π]

b. sinx=-/2 dans[-π/2,π/2]

c. 1-cos3x=0 dans [-π,π]

3.a-

b-

c-

EXERCICE II :

1. 2sinx-Ѵ3≥0

2sinx-Ѵ3=0 <= >sinx=Ѵ3/2=sinπ/3 => kϵZ

D’après le graphique :

S=[π/3 ,2π/3 kϵZ

2. cos(x-π/3) ≥Ѵ3/2

cos(x-π/3)=Ѵ3/2=cosπ/6 =>

S=[π/6 ,π/2 kϵZ ]

3. sinx≥1/2

sinx=1/2 < =>sinx=sinπ/6 =>

=>

Dans l’intervalle] -π, π]

-

k peut prendre le valeurs 0

k=0

S_{] -π,π]} = [π/6,5π/6]

Dans l’intervalle] 0,2π]

k peut prendre le valeurs 0

k=0 x =

x=

L’arc qui va de π/6 a 5π/6 comprend tous les points solution de cette inéquation.

S_[0,2π] =[ π/6,5π/6]

Dans IR

L’ensemble des solutions dans IR est la réunion des intervalles de la forme [ , ]

4. sin2x ≤ 1/2

sin2x=sin(π/6)

<=>kϵZ

<=>kϵZ

Dans l’intervalle] -π,π]

k peut prendre la valeur 0

k=0 x=-

S_{] -π,π]} = ]- π,π/12] U [5π/12, π]

Dans l’intervalle] 0,2π]

k peut prendre la valeur 0

k=0 x =

x=

S_{] 0,2π]} =[0,π/12] U [5π/12,2π[

Dans IR

L’ensemble des solutions dans IR est la réunion des intervalles de la forme] ,

5. cosx ≤Ѵ2/2

Dans l’intervalle] -π, π] =>S_{] -π,π]} =]-π,-π/4]U[π/4,π]

Dans l’intervalle [0,2π[ =>S_{[ 0,2π[ =}[π/4,7π/4]

EXERCICE III:

1.

cos(x+y) + cos(x-y) =cosxcosy-sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2 cosxcosy

2.resoudre dans IR le système :

=>

EXERCICE IV:

1.a) calcul de (Ѵ2 +1)²

(Ѵ2 +1)(Ѵ2 +1)=3+2Ѵ2

b) Equation : 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2=0 dans [0,2π]

posons X=cosx

L’équation devient : X²+(Ѵ2 -1)X- Ѵ2/2=0

Δ=(Ѵ2 -1)²-4(2)(- Ѵ2/2)=3+2Ѵ2=(Ѵ2 +1)²

·

Dans [0,2π]

-0,375<k<0.625

k=0 =>x=

Dans [0,2π]

0,375<k<1,3

K=1

·

Dans [0,2π]

-0,16<k<0,83

k=0 =>

Dans [0,2π]

0,16<k<1,16

k=1 =>

S_[0.2π] =

2. résoudre dans [0,2π] l’inéquation : 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2 ≥0

Soit f(x)= : 2cos²x + (Ѵ2 -1)cosx-Ѵ2/2 ≥0

x	0 π/3 3π/4 5π/4 5π/3 2π
cosx-1/2	+	-	-	-	+
cosx+Ѵ2/2	+	+	-	+	+
f(x)	+	-	+	-	+

f(3π/4)=cos(3π/4)-1/2=- Ѵ2/2 -1/2 <0

f(π/3)=cos(π/3)+ Ѵ2/2 =1/2+ Ѵ2/2 >0

S_[0,2π] =[0, π/3] U [ 3π/4, 5π/4] U [ 5π/3,2π[

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