MOUVEMENT D’UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR

1.Equations horaires du mouvement

Considérons un mobile S de petites dimensions lancée avec une vitesse initiale     formant un angle α avec l’horizontale.

 


 

Dans le référentiel de laboratoire, la position du centre d’inertie est étudiée dans le repère       défini tel que l’origine O coïncide avec la position du centre d’inertie du projectile a l’instant de lancement et l’axe vertical       est orientée positivement vers le haut.

 • On considère que le champ de pesanteur  est uniforme,

• On néglige la poussée d’Archimède et les frottements par rapport au poids du système.

La chute étant libre, l’accélération du projectile est l’accélération de la pesanteur.

D’après le TCI ,

 

 

 

Ses composants dans le repère choisi sont :

 

 

Le vecteur vitesse initiale étant contenu dans le plan vertical (xOy), ses composants sont :

 

 

Les composants du vecteur position du centre d’inertie obtenus par intégration sont :

 

x, y et z sont les équations horaires du projectile.

L’ordonnée y du projectile est une parabole. Puisque z=0 le mouvement se déroule dans le plan de tir (Oxy)

2.Equation de la trajectoire

On élimine t dans les équations horaires.

L’équation horaire x = (ν0 cosα)t conduit à :

En remplaçant t par cette expression dans l’équation horaire de y, il vient que :

 

 

L’équation horaire de la trajectoire est donc :

Il s’agit d’une parabole, dans le champ de tir, incurvée vers le bas.

 

3.  Flèche et portée d’un tir

La flèche

C’est la distance entre le sommet de la trajectoire et l’axe des abscisses. Le sommet est atteint lorsque vy (ts )=0 et ceci est vrai à la date ts = ν0sinα/g  . En introduisant cette expression de ts dans y(t), il vient :

La flèche de la trajectoire, hauteur maximale atteinte, s’écrit :

 

La portée

La portée est l’abscisse xp du point P, dont l’ordonnée yp est nulle. C’est le point du sol sur lequel arrive le projectile après sa chute.

Ceci conduit à résoudre l’équation y = 0, soit :

 − En factorisant par x on montre qu’il existe deux solutions :

 • la solution x = 0 qui correspond au point de lancer O,

• l’autre solution qui est donc xp et qui vérifie :

Elle s’écrit ainsi :

La portée de la trajectoire s’exprime sous la forme :

Pour une vitesse initiale de tir donnée, deux angles permettent d’atteindre la même portée horizontale : α  et  π/2 -α. La trajectoire la plus basse correspond au tir tendu, celle la plus haute au tir en cloche.

 

EXERCICES

EXERCICE I

Lors d’un coup franc, un ballon de football est lancé avec une vitesse initiale formant un angle de 50° avec le sol. Il parcourt une distance de 20m avant de rebondir de nouveau. Calculer :

1.La vitesse initiale du ballon                                                                             

2.La durée du coup franc                                                                                    

3.La hauteur maximale atteinte par le ballon.  

EXERCICE II :

On négligera l’action de l’air. On prendra g=10m/s2.

Lors d’un match de basket, pour marquer un panier, il faut que le ballon passe dans un cercle métallique situé dans le plan horizontal, à 3,05 m du sol horizontal. Pour simplifier, on remplacera le ballon par un point matériel devant passer exactement au centre C du cercle métallique. xOy est un plan vertical contenant le point C ; xOz est un plan du sol supposé horizontal.

D’un point A de Oy situé à 2,00 m du sol, un basketteur, sans adversaire, lance le ballon, avec une vitesse V0 contenu dans le plan xOy. Sa direction fait un angle α=45° avec le plan horizontal.

  1. Donner la définition d’un système pseudo-isolé. Le ballon une fois lancé constitue-t-il un système isolé ? Justifier.
  2. En appliquant le théorème du centre d’inertie au ballon, déterminer les coordonnées du vecteur accélération dans le repère cartésien utilisé.

Quelles sont les coordonnées du vecteur vitesse à chaque instant t ?

  1. On montre que les coordonnées du vecteur position  sont : x=(V0cosα)t ; y=-0,5gt2 +(V0sinα)t +h et z=0. En déduire l’équation de la trajectoire.
  2.  Les verticales de A et C sont distantes de 7,10m. Quelle doit être la valeur de V0 pour que le panier soit réussi ?
  3. Voulant arrêter le ballon, un adversaire situé à 0,90 m du tireur, saute verticalement en levant le bras. La hauteur alors atteinte par ses mains est de 2,70m. Les valeurs de α et de V0 étant les mêmes, que dans le cas précédent, le panier sera-t-il marqué ?

EXERCICE III :

On se propose d’étudier un « coup franc » direct en football en faisant les hypothèses simplificatrices suivantes :                                          

-Le ballon est un solide ponctuel ;

-L’influence de l’air est négligeable ;

-Le champ de pesanteur est uniforme et a une intensité g=9,8ms-2.                                                                                              

            Le ballon est posé en O sur le plan horizontal, face au but AB de hauteur h=2,44m et à une distance d=25m                                                                                                                                                     

de celui-ci.                                                                                                                            

Le joueur, tirant le coup franc, communique au ballon une vitesse initiale V0 dans le plan (O,i,j), incliné    par rapport à l’horizontale d’un angle α=30°.

  1. Montrer que la trajectoire du ballon est dans le plan (O,i,j).                          
  2. Déterminer l’équation de cette trajectoire dans le repère orthonormé (O,i,j) en fonction de g,α et V0.                                  
  3. Quelle doit être la vitesse initiale du ballon pour qu’il pénètre dans le but au ras de la barre transversale. 
  4. De quel temps (entre l’instant du tir et celui de l’arrivée du ballon sous la barre dispose) le gardien de but pour évaluer la trajectoire et intercepter le ballon ?             

 

CORRIGES

 

EXERCICE I

1.

La portée horizontale est 20m

d=xp=v20sin2α/g  =>

 

  

                                                                      

2.        

d=v0sinαt=>t=d/v0sinα=20/14sin50=1,86s.                                                                              

3.La hauteur maximale atteinte par le ballon.

h=v20sin2α/2g=142xsin2x50/2x9,8

=9,85m.

EXERCICE II :

1.

Un système mécanique est dit pseudo-isole lorsque les forces extérieures qui s’y exercent se compensent exactement’

Une fois lance, le ballon est soumis à l’action de son poids. Il ne constitue pas un système isole.

 

2.

Le TCI nous donne :

 

 

Dans le repère (O,x,y,z)

 

d’où les coordonnées de

 

 

 

Les coordonnées du vecteur position sont :

 

 

3.Elle s’obtient en éliminant t dans les expressions de x et de y.

 

 

 

5.    Le panier est réussi si le point C(7,10 ; 3,05) appartient à la trajectoire, d’où :

 

 

5.Calcul de y lorsque x=0,90 m

2,80m>2,70m donc le panier ne sera pas marque.

EXERCICE III :

1.

L’étude du ballon est faite dans le référentiel du laboratoire suppose galiléen, la résistance de l’air étant négligeable, la balle n’est soumise qu’a son poids.

Le TCI s’exprime par la relation :


                

 

Les composantes des vecteurs dans le repère défini sont :

Vecteur accélération :        

 

 

Vecteur vitesse :

 

 

 

Vecteur position :

 

 

 

Le vecteur position ne possède que deux composantes, le mouvement du centre d’inertie ne s’effectue que dans le plan(O,x.y)

 

2.

En supprimant le temps des équations x et y on a :

 

 

C’est l’équation de la trajectoire.

                             

3.

      L’abscisse xE du point d’entrée du ballon   dans les buts est :

      

xE=d=25m.

en tenant compte des dimensions du ballon, l’ordonnée du point E est :

yE=h-2r=2,14m.

en introduisant ces coordonnées dans l’équation de la trajectoire

on a

 

=>

 

4.

Ce temps correspond a la course du ballon