MOUVEMENT D’UN PROJECTILE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR

Equations horaires du mouvement

Considérons un mobile S de petites dimensions lancée avec une vitesse initiale formant un angle α avec l’horizontale.

Dans le référentiel de laboratoire, la position du centre d’inertie est étudiée dans le repère défini tel que l’origine O coïncide avec la position du centre d’inertie du projectile a l’instant de lancement et l’axe vertical est orientée positivement vers le haut.

• On considère que le champ de pesanteur est uniforme,

• On néglige la poussée d’Archimède et les frottements par rapport au poids du système.

La chute étant libre, l’accélération du projectile est l’accélération de la pesanteur.

D’après le TCI ,

Ses composants dans le repère choisi sont :

Le vecteur vitesse initiale étant contenu dans le plan vertical (xOy), ses composants sont :

Les composants du vecteur position du centre d’inertie obtenus par intégration sont :

x, y et z sont les équations horaires du projectile.

L’ordonnée y du projectile est une parabole. Puisque z=0 le mouvement se déroule dans le plan de tir (Oxy)

2.Equation de la trajectoire

On élimine t dans les équations horaires.

L’équation horaire x = (ν₀ cosα)t conduit à :

En remplaçant t par cette expression dans l’équation horaire de y, il vient que :

L’équation horaire de la trajectoire est donc :

Il s’agit d’une parabole, dans le champ de tir, incurvée vers le bas.

3. Flèche et portée d’un tir

La flèche

C’est la distance entre le sommet de la trajectoire et l’axe des abscisses. Le sommet est atteint lorsque v_y (t_s )=0 et ceci est vrai à la date t_s = ν₀sinα/g . En introduisant cette expression de t_s dans y(t), il vient :

La flèche de la trajectoire, hauteur maximale atteinte, s’écrit :

La portée

La portée est l’abscisse x_p du point P, dont l’ordonnée y_p est nulle. C’est le point du sol sur lequel arrive le projectile après sa chute.

Ceci conduit à résoudre l’équation y = 0, soit :

− En factorisant par x on montre qu’il existe deux solutions :

• la solution x = 0 qui correspond au point de lancer O,

• l’autre solution qui est donc x_p et qui vérifie :

Elle s’écrit ainsi :

La portée de la trajectoire s’exprime sous la forme :

Pour une vitesse initiale de tir donnée, deux angles permettent d’atteindre la même portée horizontale : α et π/2 -α. La trajectoire la plus basse correspond au tir tendu, celle la plus haute au tir en cloche.

EXERCICES

EXERCICE I

Lors d’un coup franc, un ballon de football est lancé avec une vitesse initiale formant un angle de 50° avec le sol. Il parcourt une distance de 20m avant de rebondir de nouveau. Calculer :

1.La vitesse initiale du ballon

2.La durée du coup franc

3.La hauteur maximale atteinte par le ballon.

EXERCICE II :

On négligera l’action de l’air. On prendra g=10m/s².

Lors d’un match de basket, pour marquer un panier, il faut que le ballon passe dans un cercle métallique situé dans le plan horizontal, à 3,05 m du sol horizontal. Pour simplifier, on remplacera le ballon par un point matériel devant passer exactement au centre C du cercle métallique. xOy est un plan vertical contenant le point C ; xOz est un plan du sol supposé horizontal.

D’un point A de Oy situé à 2,00 m du sol, un basketteur, sans adversaire, lance le ballon, avec une vitesse V0 contenu dans le plan xOy. Sa direction fait un angle α=45° avec le plan horizontal.

1. Donner la définition d’un système pseudo-isolé. Le ballon une fois lancé constitue-t-il un système isolé ? Justifier.
2. En appliquant le théorème du centre d’inertie au ballon, déterminer les coordonnées du vecteur accélération dans le repère cartésien utilisé.

Quelles sont les coordonnées du vecteur vitesse à chaque instant t ?

3. On montre que les coordonnées du vecteur position sont : x=(V₀cosα)t ; y=-0,5gt² +(V₀sinα)t +h et z=0. En déduire l’équation de la trajectoire.
4. Les verticales de A et C sont distantes de 7,10m. Quelle doit être la valeur de V₀ pour que le panier soit réussi ?
5. Voulant arrêter le ballon, un adversaire situé à 0,90 m du tireur, saute verticalement en levant le bras. La hauteur alors atteinte par ses mains est de 2,70m. Les valeurs de α et de V₀ étant les mêmes, que dans le cas précédent, le panier sera-t-il marqué ?

EXERCICE III :

On se propose d’étudier un « coup franc » direct en football en faisant les hypothèses simplificatrices suivantes :

-Le ballon est un solide ponctuel ;

-L’influence de l’air est négligeable ;

-Le champ de pesanteur est uniforme et a une intensité g=9,8ms^-2.

Le ballon est posé en O sur le plan horizontal, face au but AB de hauteur h=2,44m et à une distance d=25m

de celui-ci.

Le joueur, tirant le coup franc, communique au ballon une vitesse initiale V₀ dans le plan (O,i,j), incliné par rapport à l’horizontale d’un angle α=30°.

1. Montrer que la trajectoire du ballon est dans le plan (O,i,j).
2. Déterminer l’équation de cette trajectoire dans le repère orthonormé (O,i,j) en fonction de g,α et V_0.
3. Quelle doit être la vitesse initiale du ballon pour qu’il pénètre dans le but au ras de la barre transversale.
4. De quel temps (entre l’instant du tir et celui de l’arrivée du ballon sous la barre dispose) le gardien de but pour évaluer la trajectoire et intercepter le ballon ?

EXERCICE IV:

Situation problème :
Dans votre ville, se jouent les qualifications pour le championnat national de lancer de poids.

Pour garantir l'équité, les organisateurs installent un ordinateur qui permet de modéliser le mouvement du projectile de chaque participant (document 1 let de détecter la hauteur de lancement H. Le document 2 présente la performance du candidat de votre quartier.
Pour se qualifier, Il faut que la distance entre O (origine du repère) et le point d'impact A soit supérieure à 15 m.
Les qualifications doivent se jouer lorsque le temps est beau, le projectile est alors en chute libre.
Le projectile est supposé ponctuel.

En utilisant les informations ci-dessus.
1. Vérifie si le temps est favorable pour tenir cette compétition.
2. Prononce-toi sur la qualification du représentant de votre quartier. (Baccalauréat C 2021)

EXERCICE V :

Situation problème :

Pour mettre une fusée sur orbite, une organisation a besoin d'un « propulseur » délivrant une force de poussée →F verticale, constante durant le décollage, d’intensité F=16×106N. Ce dispositif est commandé auprès d'un groupe d'ingénieurs qui réalisent le test suivant avant la livraison éventuelle.

Test :
Partant du repos, un corps (s) de masse M = 850 tonnes est propulsé à partir d'un point O et suivant un axe (Oz) vertical, orienté vers le haut. Ils constatent que le corps (s) atteint le point A d'altitude H=1015,14 m après 15 secondes.
Au point A, un dispositif approprié arrête le fonctionnement du propulseur ; le corps (s) continue son mouvement dans le champ de pesanteur.
Pour éviter un choc entre le corps (s) dans sa chute et les grutiers chargés de la manutention,
BITOLOK, le responsable de la sécurité voudrait évaluer le temps d’attente (compté à partir de l'instant de lancement (s)) avant tout passage par le point O, mais n'y arrive pas.
Hypothèses :
Le centre d'inertie de (s) est initialement confondu avec O ;
On néglige la résistance de l'air.
Données :
Intensité du champ de pesanteur constante : g=9,80m.s−2;
Vitesse de (s) au point A: v_A=135,35m.s−1.
Information : dans les calculs, on considère la grue comme un point matériel au sol.
En utilisant les informations ci-dessus et à l'aide d'une démarche scientifique :
1. Évalue si le test est concluant ou non. 
2. Aide BITOLOK à atteindre son objectif.  (BACCALAUREAT D 2025 extrait)

CORRIGES

EXERCICE I

1.

La portée horizontale est 20m

d=xp=v²₀sin2α/g =>

2.

d=v₀sinαt=>t=d/v₀sinα=20/14sin50=1,86s.

3.La hauteur maximale atteinte par le ballon.

h=v²₀sin2α/2g=14²xsin2x50/2x9,8

=9,85m.

EXERCICE II :

1.

Un système mécanique est dit pseudo-isole lorsque les forces extérieures qui s’y exercent se compensent exactement’

Une fois lance, le ballon est soumis à l’action de son poids. Il ne constitue pas un système isole.

2.

Le TCI nous donne :

Dans le repère (O,x,y,z)

d’où les coordonnées de

Les coordonnées du vecteur position sont :

3.Elle s’obtient en éliminant t dans les expressions de x et de y.

5. Le panier est réussi si le point C(7,10 ; 3,05) appartient à la trajectoire, d’où :

5.Calcul de y lorsque x=0,90 m

2,80m>2,70m donc le panier ne sera pas marque.

EXERCICE III :

1.

L’étude du ballon est faite dans le référentiel du laboratoire suppose galiléen, la résistance de l’air étant négligeable, la balle n’est soumise qu’a son poids.

Le TCI s’exprime par la relation :

Les composantes des vecteurs dans le repère défini sont :

Vecteur accélération :

Vecteur vitesse :

Vecteur position :

Le vecteur position ne possède que deux composantes, le mouvement du centre d’inertie ne s’effectue que dans le plan(O,x.y)

2.

En supprimant le temps des équations x et y on a :

C’est l’équation de la trajectoire.

3.

L’abscisse x_E du point d’entrée du ballon dans les buts est :

x_E=d=25m_.

en tenant compte des dimensions du ballon, l’ordonnée du point E est :

y_E=h-2r=2,14m.

en introduisant ces coordonnées dans l’équation de la trajectoire

on a

=>

4.

Ce temps correspond a la course du ballon

EXERCICE IV :

Vérification si le temps est favorable.
Il s'agit de vérifier si le temps est favorable en examinant si le projectile est en chute libre.
Pour cela nous allons :
• supposer que le projectile est en chute libre, puis exploiter le document l pour donner la nature du mouvement suivant les deux axes ;
• Exploiter le document 2 pour déterminer la valeur de l'accélération aG du mouvement lors du concours ;
• La comparer à la valeur de l'accélération dans le cas d'une chute libre et conclure.

Supposons que le projectile est en chute libre.
1.1 Détermination de la nature du mouvement du projectile.
Le document (l) montre que la trajectoire du projectile est un arc de parabole contenu dans le plan du tir.
Le mouvement du projectile est :
• Uniforme suivant l'axe (0;→i);
• uniformément varie suivant l'axe (0;→j) .
1.2. Détermination de la valeur de l'accélération du mouvement.

1.3. Comparaison:
Accélération du mouvement : a_G=9,81 m/s2 alors que g=9,80m/s2.
La différence entre a_G et g est négligeable ; on peut donc écrire a_G=g
Conclusion : Comme a_G=g, le projectile est en chute libre, donc le temps est favorable pour tenir cette compétition.

2. Examen d'une éventuelle qualification du représentant du quartier.
Il s'agit de déterminer la distance OA afin de se prononcer sur la qualification du candidat.
Pour cela :
• Établir les équations horaires du mouvement ;
• Déterminer l'abscisse X = 0A du point d'impact A du projectile avec le sol horizontal ;
• Comparer au minimum requis et conclure.
2.1 Détermination des équations libraires du mouvement
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le projectile est soumis uniquement à l’action de son poids →P

2.2 Détermination de l'abscisse X du point d’impact A avec le sol horizontal
Valeur de la vitesse initiale v₀

On trouvera après résolution X = 0A = 11,8 m
2.3 Comparaison:
Pour une qualification. Xmin=15
On constate que OA≺Xmin
Conclusion : Comme la distance 0A ne répond pas aux conditions requises, le représentant du quartier ne s‘est pas qualifié.

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