MOUVEMENT D’UN SATELLITE DANS LE CHAMP DE GRAVITATION TERRESTRE

Les satellites artificiels évoluent dans le champ gravitationnel terrestre. Nombre d’entre eux ont des trajectoires circulaires dont le centre est le centre de la terre. Le référentiel galiléen approprié de ce type de mobile est donc le référentiel géocentrique.

Considérons un satellite (S) de masse m, évoluant sur une orbite circulaire à une altitude h au- dessus de la surface de la terre.

Accélération du satellite

Bilan des forces

Force gravitationnelle exercée par la terre.

D’après le TCI

=>

a

Le mouvement d’un satellite est indépendant de la masse ; il ne dépend que du champ de pesanteur et des conditions initiales de propulsion du satellite.

Vitesse et période de révolution

Vitesse linéaire

=

Période

La période augmente avec l’altitude, elle doit être mesurée dans un référentiel géocentrique.

EXERCICES

EXERCICE I :

Un satellite d’une tonne tourne autour de la Terre à une altitude de 1000 km. (Rayon de la Terre ≈ 6370 km, masse de la Terre ≈ 5,97.1024 kg)

a. Quelle est l’intensité de la force centripète exercée sur le satellite ?

b. Quelle est son accélération ?

c. Quelle est sa vitesse ?

EXERCICE II :

1- Un satellite décrit autour de la terre une orbite circulaire, à une altitude h, à la vitesse constante v=7x10³m.s^-1. Calculer h ainsi que la durée T d’une révolution.

(on donne R_T =6400km; g_o=9,8ms^-2)

2- Quand dit-on qu’un satellite est géostationnaire ? A quelle distance h’ doit graviter le satellite précédant pour être géostationnaire ?

On donne la durée du jour sidéral : 86164s

3- L’énergie potentielle de gravitation du système (Satellite-Terre) s’écrit :

où m est la masse du satellite

3.1-Quelle est l’altitude de référence de Ep ?

3.2-Déterminer l’expression de l’énergie mécanique totale du système (satellite-terre) en fonction de m, g_o, R et h.

3.3-Calculer l’énergie à fournir au satellite pour le faire passer de l’orbite d’altitude h à l’orbite d’altitude h’. On donne m= 1,5 tonne.

CORRIGES :

EXERCICE I :

a.

La force centripète qui maintient les satellites et planètes sur leurs orbites est la force de gravitation :

b.

a

c. sa vitesse

EXERCICE II :

1-

<= >v²=R²_T (g₀/R_T +h)

<= >v²(R_T +h)=R²_Tg₀

<=> v²h+ v²R_T=g₀

=>h= R²_Tg₀ /v²- R_T

=(6400)²x9,8/(7000)² -6400=1,8.10⁶m

T=2πr/v=2π(R_T+h)/v

=2π(6400-1,8.10⁶)/7000=7,35.10³ s

2-

Un satellite est dit géostationnaire lorsqu’il conserve une direction fixe par rapport a un point de la surface de la terre. Un satellite géostationnaire se déplace donc dans le même sens et a la même vitesse que la terre autour de l’axe des pôles.

<= >4π²(R_T+h’)³/g₀R²_T=T²

<= >4π²(R_T+h’)³ = T² g₀R²_T

<= >

₌3,58.10⁷m

3.

3.1-L’énergie potentielle de gravitation est inversement proportionnelle à l’altitude h, elle est donc nulle lorsque l’altitude est infinie. La référence des énergies potentielles est donc prise à une position très éloignée de la terre.

3.2-L’expression de l’énergie mécanique totale du système (satellite-terre) est :

Em =-Epp +Ec

=-mg₀R²_T/(R_T+h)+1/2mv²

=-mg₀R²_T/(R_T+h)+1/2m g₀R²_T/(R_T+h)

=-1/2m g₀R²_T/(R_T+h)

3.3-A l’orbite h, l’énergie mécanique du système est :

Em(h)= -1/2m g₀R²_T/(R_T+h)

A l’altitude géostationnaire, l’énergie mécanique du système est :

Em(h)= -1/2m g₀R²_T/(R_T+h’)

La variation d’énergie mécanique est :

ΔEm=Em(h’)- Em(h)

Cette énergie, positive, est l’énergie à fournir pour qu’il passe de l’orbite d’altitude h à l’orbite géostationnaire.