SUITES NUMERIQUES
GENERALITES SUR LES SUITES
Définition :
Une suite numérique (un) est une application de IN dans IR.
(un): IN→IR
n→un
On note (un) la suite de nombres u0, u1, u2,..., un, ...
Le nombre un est le terme d’indice n (ou de rang n).
uo est le premier terme de la suite.
On distingue deux types de définition des suites numériques :
Suites définies par une formule explicite
Ce sont des suites dont l’expression directe est en fonction de l’entier n.
Exemple: Un=2n +1
Calculons les 5 premiers termes
U0=2x0 +1=1
U1=2x1 +1=3
U2=2x2 +1=5
U3=2x3 +1=7
U0=2x4 +1=1
Suites définies par une formule implicite ou par récurrence
.
Exemple: un+1 = 3un + 2 et uo=1
Calculons les deux premiers termes :
u1 = 3u0 + 2= 3x1 + 2=5
u2 = 3u1 + 2= 3x5 + 2=17
Le raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence permet de montrer qu’une propriété, qui dépend d’un entier naturel est vraie pour tout entier supérieur ou égal à un entier naturel donné.
Ø Principe de raisonnement par récurrence :
Pour démontrer par récurrence qu’une proposition est vraie pour tout entier naturel (étant un entier naturel donné), on peut suivre les étapes suivantes :
·1ère étape : initialisation : On vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme.
· 2ème étape : hérédité: On suppose qu’elle est vraie pour un certain rang p (cette supposition est appelée hypothèse de récurrence), on montre par la suite qu’elle est aussi vraie au rang p+1(on dit dans ce cas que la propriété est héréditaire).
· 3ème étape : conclusion: Une fois les étapes 2 et 3 sont vérifiées, on conclut d’après le principe de raisonnement par récurrence
qu’elle est vraie pour tout entier naturel.
Exemple:
Soit la suite u0=2 et un+1=5un +4, montrons qu’elle est à termes positifs.
· Initialisation: on montre que le premier terme est positif: u0=2>0
· Hérédité: on montre que si up>0 alors up+1>0 up+1=5up+4>0 et il y a hérédité.
· Conclusion : Par récurrence la propriété est vraie pour tout n.
ETUDE D’UNE SUITE NUMERIQUE
Variations d’une suite
Définition :
Soit (un) une suite de nombre réels. E est son ensemble de définition et I, un intervalle de E.
· La suite (un) est croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ≥un.
· La suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier naturel n, un+1 > un.
· La suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 ≤ un.
· La suite (un) est strictement décroissante si, pour tout entier naturel n, un+1 < un.
Méthode:
a) La méthode algébrique
Ø On étudie le signe de un+1-un
· Si pour tout n de E, un+1-un ≥ 0, alors la suite un est croissante.
· Si pour tout n de E, un+1-un ≤ 0, alors la suite un est décroissante.
Ø On
compare à 1, le quotient
·
Si pour tout n de E,
alors la suite un est croissante.
·
Si pour tout n de E
alors la suite un est décroissante.
b) Étude à l‘aide d’une fonction
Si un =f(n), alors un a le même sens de variation que la fonction f.
On étudie donc les variations de la fonction sur I contenant E.
· Si f est croissante sur I, alors la suite un est croissante.
· Si f est décroissante sur I, alors la suite un est décroissante.
c) Utilisation du raisonnement par récurrence (vu plus haut)
Suites
majorées, minorées, bornées
Définition
:
Soit (un) une suite de nombre réels.
· La suite (un) est majorée s’il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, un≤ M.
· La suite (un) est minorée s’il existe un nombre réel m tel que, pour tout entier naturel n, un≥ m.
· La suite (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Convergence d’une suite
Définition
Une suite (un)
est une suite convergente vers le nombre réel l
si tout intervalle ouvert contenant l contient
tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Le nombre réel l est la limite de la suite (un), on écrit:
Une suite est divergente si elle n’est pas convergente (sa limite est infinie ou n’existe pas).
Théorème : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Remarque :
Si la suite (un) est croissante et majorée par un réel M, alors la limite de (un) est inférieure ou égale à M; cette limite n'est pas nécessairement M.
Suites
monotones convergentes
Théorème : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Remarque :
Si la suite (un) est croissante et majorée par un réel M, alors la limite de (un) est inférieure ou égale à M; cette limite n'est pas nécessairement M.
Exemple: La suite (un) définie par 
et u0
= 0 est croissante et majorée par 2; elle converge donc mais sa limite n'est
pas 2 mais le nombre 
Propriétés :
Si (un) converge vers l, et si (un) est croissante, alors pour tout n de IN, un ≤ l. Si (un) converge vers l, et si (un) est décroissante, alors pour tout n de IN, un≥ l.
Limite d’une suite
définie par une formule de récurrence
Propriété :
g est une fonction définie sur un intervalle K
(un) est une suite a valeurs dans K définie par la formule de récurrence un+1 =g(un)
Si (un) est convergente alors sa limite est une solution α de l’équation g(x)=x.
Exemple :
On donne la suite (un):
La fonction 
est
continue sur IR+ et a valeurs dans IR+, donc la suite (un)
définie par un+1=g(un) est convergente.
Alors sa limite l vérifie l’équation g(x)=x.
x=2 donc
Suites adjacentes
Définition
On dit que deux suites (un) et (vn) définies sur IN sont adjacentes si et
seulement si les trois conditions suivantes sont réalisées :
Pour tout entier naturel n,
Ø 
Ø 
;
Ø 
Exemple :
sont des suites adjacentes
Théorème :
Si les deux suites (un) et (vn) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
REPRESENTATION GRAPHIQUE DES
TERMES D’UNE SUITE
Si la suite (un) a son terme général défini en fonction de n, on représente la suite dans un repère du plan, par un ensemble de points de coordonnées (n; un). Cette représentation graphique permet de visualiser les variations de la suite et éventuellement la convergence.
Méthode:z
· Commencer par représenter la fonction et la première bissectrice.
· Placer le point d’abscisse u0 sur l’axe des abscisses
· A partir du point d’abscisse u0 sur l’axe des abscisses, on obtient sur l’axe le point d’abscisse u1 en traçant une parallèle à l’axe des ordonnées qui coupe la courbe au point A0(u0, u1), on trace ensuite une parallèle à l’axe des abscisses qui passe par A0; cette parallèle coupe la première bissectrice en un autre point. En traçant une autre parallèle à l’axe des ordonnées passant par ce point, cette nouvelle parallèle coupe l’axe des abscisses au point u1.
· On répète le processus.
EXERCICES
EXERCICE I:
1.Montrer que la suite numérique (un) définie
par:
est majorée par 1 et minorée par 0
2.Soit la suite numérique (un)
telle que:
Montrer par récurrence que pour tout n, 0<un<1.
3. Soit la suite numérique (un) telle que u0=-3 et un+1 = 5-4un
Montrer par récurrence que pour tout n, un = (-4)n+1 +1
EXERCICE II:
Soit la suite (un) définie par:
On suppose que la suite (un) est décroissante et que: 0≤un≤1
Démontrer que la suite(un) est convergente et déterminer sa limite.
EXERCICE III:
On considère la suite vn
définie par:
Démontrer que la suite vn est minorée par Ѵ2 et majorée par 2.
EXERCICE IV:
Soit la suite (un) telle que
pour tout entier naturel n .
A - Approche « récurrente » :
1/ Vérifier 0 £ un £ 1 pour tout entier n .
2/ Montrer que la suite u est croissante. Qu’en conclure ?
3/ Calculer
.
B - Approche « fonctionnelle » :
Soit f définie sur [0 ; +∞ [ telle que
.
1/ Montrer que f est continue, strictement croissante sur [0 ; +∞[
2/ Calculer
3/ Expliquer pourquoi l’approche « fonctionnelle » permet
d’obtenir les résultats cherchés dans la partie A , alors qu’elle n’aurait pas
été applicable si on avait définie u par
.
EXERCICE V:
On considère la suite (un) définie par u0=1
et la relation de récurrence :
1) Justifier l’existence de cette suite.
2) Si la suite était convergente, quelle serait sa limite ? Quelle conclusion peut-on en tirer sur le comportement de la suite à l’infini.
EXERCICE VI : Soit la suite (un)
définie par:
1.Montrer que -1<un<0 pour tout n ϵN
2.Montrer que un est une suite strictement
croissante.
3. Montrer que: 
En déduire que:
