DERIVEES

DEFINITION
Soit f, une fonction numérique définie sur I, un intervalle et x₀ est un réel I. On dit que f est dérivable sur I si :

existe et est finie.

Cette limite est appelée le nombre dérivé de f en x₀. On le note : f’(x₀).

Exemple :

f(x)=

= =

CALCUL DES DÉRIVÉES

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I de et k un nombre réel non nul.

Exemple :

DERIVEES SUCCESSIVES : POINT D'INFLEXION
. Lorsque la dérivée seconde s'annule en un point d'abscisse x₀ en changeant de signe, alors
le point d'abscisse x₀ est appelé « point d’inflexion ».
Au point d'inflexion, la courbe traverse la tangente et change de concavité

EQUATION DE LA TANGENTE A LA COURBE D’UNE. FONCTION

· Soient une fonction f, (C) sa courbe représentative et A un point de (C) d’abscisse x₀. Si f est dérivable en x₀, alors(C) admet en A une tangente (T) dont le coefficient directeur est f’(x₀).

La tangente (T) en x₀ a pour équation :

y= f’(x₀)(x-x₀) + f(x₀)

Exemple : f(x)=x² +2 et x₀=3

f’(x) =2x

f’(3=2(3)=6

f(3)=(3)² +2 =11

L’équation de la tangente en 3 est : y=6(x-3) + 11=6x+29=> y=6x +29

· Si f’(x0)=0, alors (C) admet au point abscisse x0 une tangente parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) d’équation y =f(x₀).

SENS DE VARIATION

RECHERCHE DES EXTREMA

Soit la fonction dérivable sur I, un intervalle donné et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,)

On dit que (C_f) admet un extrémum au point A(x₀,f(x₀)) si f’(x₀)=0 et pendant l’étude du signe de la dérivée , on observe un changement de signe.

Si f croit et décroit ensuite, on a un maximum en M₀. Il correspond à la plus grande ordonnée .la courbe admet une tangente horizontale en M₀.

Si f décroit et croit ensuite, on a un minimum. Il correspond à la plus petite ordonnée. La courbe admet une tangente horizontale en M₀.

TABLEAU DE VARIATION

EXERCICES

EXERCICE I : : Dans chacun des cas suivants, étudier les variations de la fonction puis préciser ses extremums.

1.

2.

3. f(x)=

4.

5.

EXERCICE II :

EXERCICE III :

CORRIGES

EXERCICE I :

1. f(x)=x²-3x+2

Domaine de définition : D_f=IR=

f’(x)=2x-3

f’(x)=0 <=>2x-3=0 => x= 3/2

f (3/2) =(3/2)² -3(3/2) +2=-1/4

L’extrémum est le point A ( -1/4

x∈]-∞,3/2[ la dérivée est négative =>la fonction est décroissante

x∈]3/2,+∞[, la dérivée est positive =>la fonction est croissante

x	-∞. +∞
f’(x)	-	+
f(x)	+∞ - +∞

4.

Domaine de définition : D_f=]-∞,-1[U]-1,+∞[

f’(x)=0 =>x=0 ou x=-2

f(0)=0-1+=0

f(-2)=-2-1+=-4

Les points A (0 ;0) et B (-2 ; -4) sont des extrémums.

Signes de la dérivée : C’est le signe de x(x+2) car (1+x)² est toujours positif.

x	-∞ -2 0 +∞
x+2	-	+	+
x	-	-	+
x(x+2)	+	-	+

x ∈ ]-2,0[, la dérivée est négative =>la fonction est décroissante

x ∈ ]-∞,-2[U]-∞,+∞[ la dérivée est positive =>la fonction est croissante

Tableau de variation :

x	-∞ -2 -1 0 +∞
f’(x)	. +	. -	. -	+
f(x)	-∞. -4. -∞		+∞. 0 +∞

5.

f(x)=(2x+1) (x²-2)

f’(x)= (2x+1)’(x²-2) + (2x+1) (x²-2)’=2(x²-2) + (2x+1)2x=2x²-4+4x²+2x=6x²+2x-4

EXERCICE II :

a)

x-5=0 => x=5. La valeur x=5 est interdite.

b)

f’(x)==-

c)

Pour tout x ∈ [-15,10] , f’(x)<0

x	-15 5 10
f’(x)	-	-
f(x)	-1/10 -∞	+∞ 15

d) L’équation de la tangente s’écrit :

f(x) –f(x₀) =f’(x₀) (x-x₀) avec x₀=-1

=

---

EXERCICE III :

1- D_f=]-∞,-1[U]-1,+∞[

2.

3.h’(x)=0<= >x=1/2 et -5/2

x	-∞ -5/2 -1 1/2 +∞
hf’(x)	+ -	- +
h(x)	-∞ -16 -∞	+∞ 8 +∞

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