ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS
Ensemble IN des entiers
naturels
C’est un ensemble constitué des nombres entiers naturels. On écrit :
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
A tout entier
n, on peut toujours trouver un entier n’ tel que n’=n+1. On dit que IN est un ensemble
infini.
IN* est
l’ensemble IN moins l’élément {0}.
458 est un
élément de IN. On écrit : 458 
N et on lit : « 458 appartient à IN »
3,5 n’est
pas un élément de IN. On écrit : 3,5
IN et on lit : « 3,5 n’appartient
pas à IN »
Ensemble Z des entiers
relatifs
C’est un ensemble constitué des entiers négatifs et des entiers positifs.
On écrit : Z={….,-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,…}
L’ensemble
Z est un ensemble infini. Il résulte de la réunion de deux sous
–ensembles :
Z-={….,-5,-4,-3,-2,-1,0} (entiers relatifs négatifs)
Z+={0,+1,+2,+3,…..} (entiers
relatifs positifs)
On
écrit : Z=Z- ᴜ Z+
Tous les
éléments de l’ensemble IN sont aussi éléments de Z, on dit que IN est inclus
dans Z et on note : N 
Z
Ensemble ID des décimaux
relatifs
C’est un ensemble constitué des nombres décimaux à décimales limitées.
Il résulte
de la réunion de deux sous –ensembles :
ID- : Décimaux négatifs
ID+ : Décimaux positifs
Exemples :
0,7∈ID ; 3/2∈ ID ;
2/3∉ ID (car 2/3=0,666666666666666….partie décimale illimitée)
Ensemble ℚ des nombres rationnels
C’est un ensemble constitué des nombres pouvant s’écrire sous la
forme 
où a 
Z et
b Z*
Exemples :
2/3 ℚ ,
0,7 ℚ
Ensemble IR des nombres réels
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels
: Ces nombres sont appelés des nombres irrationnels. Ils comportent une
partie décimale illimitée. La réunion de l’ensemble des nombres
rationnels et l’ensemble des nombres irrationnels est noté IR lire ensemble des
nombres réels.
Les nombres irrationnels ont un radical (Ѵ).
On note :
IR- : ensemble des réels négatifs
IR+ : ensemble des réels positifs
IR* : ensemble des réels non nuls
Exemples :
√ 2 est un nombre irrationnel
π
(pi) est un nombre irrationnel (les nombres à décimales non limitées).
EXERCICES
EXERCICE
I :
Soit
la liste suivante : -4/9 ;7/11 ; 75/100 ; 22,3456 ;
-24 ; 17, 26
Extraire de cette liste :
1.Les nombres entiers naturels
2. Les nombres entiers relatifs
3. Les décimaux relatifs
4. Les rationnels
5. Les irrationnels
6. Les réels
EXERCICE
II :
Compléter
les points par les symboles : 
∉, ⊂ et 
1. -6…..IN
2. 78…..Z
3. 
4. 
ℚ
5. 
….. ℚ
6. ℚ ….IR
7. IN…….Z
8. IR+ ….. IR
9. Z…… ℚ
10.IR……Z
CORRIGES
EXERCICE I :
1.Les nombres entiers
naturels : 17 ; 26
2. Les nombres entiers
relatifs : -24 ; 17 ; 26
3. Les décimaux
relatifs :4/100 ; 22,3456 ; -24 ; 17, 26
4. Les
rationnels : -4/9 ;7/11 ; 75/100 ; 22,3456 ;
-24 ; 17,26
5. Les
irrationnels : Ѵ10 ;22/7
6. Les réels :
-4/9 ;7/11 ;75 /100 ; 22,3456 ; -24 ; 17, 26
EXERCICE II : Compléter les points par les symboles : 
∉, ⊂ et 
1. -6…∉..IN
2. 78
…..Z
3. 2/3……∈……ID
4. 2/3…..∈….. ℚ
5. Ѵ3…∉.. ℚ
6. ℚ …⊂ ….IR
7. IN…⊂ ….Z
8. IR+ ⊂ IR
9. Z…⊂ … ℚ
10.IR……Z