CORRIGES

EXERCICE I : Calculez les limites des fonctions suivantes

a.

b.

c.

//car

d.

=

 EXERCICE II : Calculez les dérivées des fonctions suivantes

a.

b.

c.

d.

 EXERCICE III : Calculez les primitives des fonctions suivantes

a.  =-1/3x-3 e^-3x+7=-1/3(-3x+7)’ e^-3x+7=-1/3u’(x)e^u(x)

F(x) =-1/3e^-3x+7 +k, kεIR

b.  =(sinx)’ = u’(x)e^u(x)

F(x)=

c. =1/2x (2x+2) =1/2 u’(x)e^u(x)

F(x)=1/2

 EXERCICE IV : Résoudre :

a. <= > ln. <= > x-3=ln4 =>x=3+ ln4 =>S={3+ ln4 }

b. <= >ln <= > x-3<ln4=>x<3+ ln4 =>S=]-∞,3+ ln4[

c. impossible //la fonction exponentielle est positive

d.  impossible //la fonction exponentielle est positive

 EXERCICE V : Résoudre :

a. ln(x+3)=-2  <=> e^ln(x+3) =e^-2<=>x+3=e^-2  =>x= e^-2  -3 => S={ e^-2-3 }

b. ln(x+3)<-2  S=]-∞, e^-2  -3[

c.<=>3e^xe^x+5e^x-2=0<=>3e^2x+5e^x-2=0

On pose X=e^x =>3X²+5X-2=0

Δ=b²-4ac=25-4(3)(-2)=49

X₁=(-5-7)/6=-1

X₂=(-5+7)/6=1/3

X=e^x=-6 impossible

X=e^x=1/3 =>x=ln1/3 =>S={-ln3}

d. >0 <=>3e^2x+5e^x-2>0

S=]∞,-ln3[∪]-ln3,+∞[

EXERCICE VI :

a) Résoudre dans R, l’équation (E) 

X² - 4X +3 =0.

Δ=b²-4ac=16-4(1)(3)=4

X1=(4-2)/2=1

X2=(4+2)/2=3

 b) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E’) :

e^2x – 4e^x + 3=0.

En posant X=e^x  on retrouve X² - 4X +3 =0

X=e^x  =1=>x=ln1=0

X=e^x  =3=>x=ln3

c) Résoudre dans R :

3.3^-x +2=9^x.3^-x

3+2.3^x=(3²)^x

< = > (3^x)²-2(3^x)-3=0

on pose X=3^x

On a :X²-2X-3=0  =>X=-1 ou X=3

La valeur X=-1 est à rejeter car pour tout x, 3^x>0

X=3^x=3¹  =>x=1

EXERCICE VII :  Calculer les limites suivantes :

a )

b)

c)

d)